Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 421 / 99
↖ ↑ ↗
← N 80.928426°
W 31.992188°		 ← 6 163.57 m → N 80.928426°
W 31.640625°		 →
↑
6 182.29 m
↓
↑
6 182.29 m
↓
N 80.872827°
W 31.992188°		 ← 6 201.02 m →
38 220 743 m²		 N 80.872827°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41162109375 y=0.09716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41162109375 × 210)
    floor (0.41162109375 × 1024)
    floor (421.5)     		tx = 421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09716796875 × 210)
    floor (0.09716796875 × 1024)
    floor (99.5)     		ty = 99
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 421 / 99 ti = "10/421/99"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/421/99.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 421 ÷ 210
    421 ÷ 1024     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99 ÷ 210
    99 ÷ 1024     		y = 0.0966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966796875 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53413626151465))-π/2
    2×atan(12.6055382560183)-π/2
    2×1.4916319067894-π/2
    2.9832638135788-1.57079632675     		φ = 1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 421 KachelY 99 -0.55836901 1.41246749 -31.992188 80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 422 KachelY 99 -0.55223308 1.41246749 -31.640625 80.928426
    Unten links KachelX 421 KachelY + 1 100 -0.55836901 1.41149711 -31.992188 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 422 KachelY + 1 100 -0.55223308 1.41149711 -31.640625 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41246749-1.41149711) × R
    0.000970380000000048 × 6371000     		dl = 6182.29098000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41246749-1.41149711) × R
    0.000970380000000048 × 6371000     		dr = 6182.29098000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55223308) × cos(1.41246749) × R
    0.00613593000000001 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 6163.56556578795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55223308) × cos(1.41149711) × R
    0.00613593000000001 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 6201.02228864289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41246749)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.15862633525071)×R²
    abs(-0.55223308--0.55836901)×0.000958168250396962×R²
    0.00613593000000001×0.000958168250396962×6371000²
    0.00613593000000001×0.000958168250396962×40589641000000     		ar = 38220742.9811282m²