Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 421 / 134
↖ ↑ ↗
← N 82.540604°
W105.996094°		 ← 2 537.53 m → N 82.540604°
W105.820313°		 →
↑
2 541.39 m
↓
↑
2 541.39 m
↓
N 82.517748°
W105.996094°		 ← 2 545.26 m →
6 458 676 m²		 N 82.517748°
W105.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.205810546875 y=0.065673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.205810546875 × 211)
    floor (0.205810546875 × 2048)
    floor (421.5)     		tx = 421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.065673828125 × 211)
    floor (0.065673828125 × 2048)
    floor (134.5)     		ty = 134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 421 / 134 ti = "11/421/134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/421/134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 421 ÷ 211
    421 ÷ 2048     		x = 0.20556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 134 ÷ 211
    134 ÷ 2048     		y = 0.0654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20556640625 × 2 - 1) × π
    -0.5888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.84998083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0654296875 × 2 - 1) × π
    0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84998083} λ = -1.84998083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7304858023584))-π/2
    2×atan(15.3403375821864)-π/2
    2×1.50570081502703-π/2
    3.01140163005407-1.57079632675     		φ = 1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84998083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 421 KachelY 134 -1.84998083 1.44060530 -105.996094 82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 422 KachelY 134 -1.84691287 1.44060530 -105.820313 82.540604
    Unten links KachelX 421 KachelY + 1 135 -1.84998083 1.44020640 -105.996094 82.517748
    Unten rechts KachelX + 1 422 KachelY + 1 135 -1.84691287 1.44020640 -105.820313 82.517748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44060530-1.44020640) × R
    0.00039889999999998 × 6371000     		dl = 2541.39189999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44060530-1.44020640) × R
    0.00039889999999998 × 6371000     		dr = 2541.39189999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84998083--1.84691287) × cos(1.44060530) × R
    0.00306796000000009 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 2537.52772437629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84998083--1.84691287) × cos(1.44020640) × R
    0.00306796000000009 × 0.130219068958444 × 6371000     		du = 2545.25842678201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44060530)-sin(1.44020640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.130219068958444)×R²
    abs(-1.84691287--1.84998083)×0.000395513814658327×R²
    0.00306796000000009×0.000395513814658327×6371000²
    0.00306796000000009×0.000395513814658327×40589641000000     		ar = 6458675.86263538m²