Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42045 / 10566
↖ ↑ ↗
← N 76.426871°
E 50.960083°		 ← 143.34 m → N 76.426871°
E 50.965576°		 →
↑
143.35 m
↓
↑
143.35 m
↓
N 76.425582°
E 50.960083°		 ← 143.36 m →
20 549 m²		 N 76.425582°
E 50.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641563415527344 y=0.161231994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641563415527344 × 216)
    floor (0.641563415527344 × 65536)
    floor (42045.5)     		tx = 42045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161231994628906 × 216)
    floor (0.161231994628906 × 65536)
    floor (10566.5)     		ty = 10566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42045 / 10566 ti = "16/42045/10566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42045/10566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42045 ÷ 216
    42045 ÷ 65536     		x = 0.641555786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10566 ÷ 216
    10566 ÷ 65536     		y = 0.161224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641555786132812 × 2 - 1) × π
    0.283111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88942124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161224365234375 × 2 - 1) × π
    0.67755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12859009072897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88942124} λ = 0.88942124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12859009072897))-π/2
    2×atan(8.40301097250081)-π/2
    2×1.45234842896539-π/2
    2.90469685793078-1.57079632675     		φ = 1.33390053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88942124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.960083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33390053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.426871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42045 KachelY 10566 0.88942124 1.33390053 50.960083 76.426871
    Oben rechts KachelX + 1 42046 KachelY 10566 0.88951711 1.33390053 50.965576 76.426871
    Unten links KachelX 42045 KachelY + 1 10567 0.88942124 1.33387803 50.960083 76.425582
    Unten rechts KachelX + 1 42046 KachelY + 1 10567 0.88951711 1.33387803 50.965576 76.425582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33390053-1.33387803) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dl = 143.347500000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33390053-1.33387803) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dr = 143.347500000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88942124-0.88951711) × cos(1.33390053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234686255555307 × 6371000     		do = 143.343494680273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88942124-0.88951711) × cos(1.33387803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234708127097247 × 6371000     		du = 143.356853550601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33390053)-sin(1.33387803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234686255555307-0.234708127097247)×R²
    abs(0.88951711-0.88942124)×2.18715419403048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18715419403048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18715419403048e-05×40589641000000     		ar = 20548.8890848393m²