Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42044 / 10561
↖ ↑ ↗
← N 76.433315°
E 50.954590°		 ← 143.29 m → N 76.433315°
E 50.960083°		 →
↑
143.28 m
↓
↑
143.28 m
↓
N 76.432027°
E 50.954590°		 ← 143.31 m →
20 532 m²		 N 76.432027°
E 50.960083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641548156738281 y=0.161155700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641548156738281 × 216)
    floor (0.641548156738281 × 65536)
    floor (42044.5)     		tx = 42044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161155700683594 × 216)
    floor (0.161155700683594 × 65536)
    floor (10561.5)     		ty = 10561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42044 / 10561 ti = "16/42044/10561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42044/10561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42044 ÷ 216
    42044 ÷ 65536     		x = 0.64154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10561 ÷ 216
    10561 ÷ 65536     		y = 0.161148071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    0.2830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88932536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161148071289062 × 2 - 1) × π
    0.677703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12906945972517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88932536} λ = 0.88932536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12906945972517))-π/2
    2×atan(8.40704008107347)-π/2
    2×1.45240466651855-π/2
    2.90480933303711-1.57079632675     		φ = 1.33401301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88932536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.954590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33401301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.433315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42044 KachelY 10561 0.88932536 1.33401301 50.954590 76.433315
    Oben rechts KachelX + 1 42045 KachelY 10561 0.88942124 1.33401301 50.960083 76.433315
    Unten links KachelX 42044 KachelY + 1 10562 0.88932536 1.33399052 50.954590 76.432027
    Unten rechts KachelX + 1 42045 KachelY + 1 10562 0.88942124 1.33399052 50.960083 76.432027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33401301-1.33399052) × R
    2.24900000000972e-05 × 6371000     		dl = 143.283790000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33401301-1.33399052) × R
    2.24900000000972e-05 × 6371000     		dr = 143.283790000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88932536-0.88942124) × cos(1.33401301) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.23457691550563 × 6371000     		do = 143.291656010521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88932536-0.88942124) × cos(1.33399052) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.23459877792048 × 6371000     		du = 143.305010698989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33401301)-sin(1.33399052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23457691550563-0.23459877792048)×R²
    abs(0.88942124-0.88932536)×2.1862414850804e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1862414850804e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1862414850804e-05×40589641000000     		ar = 20532.3283049908m²