Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42044 / 10557
↖ ↑ ↗
← N 76.438468°
E 50.954590°		 ← 143.24 m → N 76.438468°
E 50.960083°		 →
↑
143.22 m
↓
↑
143.22 m
↓
N 76.437180°
E 50.954590°		 ← 143.25 m →
20 516 m²		 N 76.437180°
E 50.960083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641548156738281 y=0.161094665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641548156738281 × 216)
    floor (0.641548156738281 × 65536)
    floor (42044.5)     		tx = 42044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161094665527344 × 216)
    floor (0.161094665527344 × 65536)
    floor (10557.5)     		ty = 10557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42044 / 10557 ti = "16/42044/10557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42044/10557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42044 ÷ 216
    42044 ÷ 65536     		x = 0.64154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10557 ÷ 216
    10557 ÷ 65536     		y = 0.161087036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    0.2830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88932536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161087036132812 × 2 - 1) × π
    0.677825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12945295492213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88932536} λ = 0.88932536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12945295492213))-π/2
    2×atan(8.41026475884991)-π/2
    2×1.45244963769637-π/2
    2.90489927539274-1.57079632675     		φ = 1.33410295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88932536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.954590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33410295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.438468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42044 KachelY 10557 0.88932536 1.33410295 50.954590 76.438468
    Oben rechts KachelX + 1 42045 KachelY 10557 0.88942124 1.33410295 50.960083 76.438468
    Unten links KachelX 42044 KachelY + 1 10558 0.88932536 1.33408047 50.954590 76.437180
    Unten rechts KachelX + 1 42045 KachelY + 1 10558 0.88942124 1.33408047 50.960083 76.437180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33410295-1.33408047) × R
    2.24799999999359e-05 × 6371000     		dl = 143.220079999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33410295-1.33408047) × R
    2.24799999999359e-05 × 6371000     		dr = 143.220079999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88932536-0.88942124) × cos(1.33410295) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.23448948410222 × 6371000     		do = 143.23824840835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88932536-0.88942124) × cos(1.33408047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234511337270361 × 6371000     		du = 143.251597448451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33410295)-sin(1.33408047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23448948410222-0.234511337270361)×R²
    abs(0.88942124-0.88932536)×2.18531681411005e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18531681411005e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18531681411005e-05×40589641000000     		ar = 20515.5493219014m²