Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42039 / 10565
↖ ↑ ↗
← N 76.428160°
E 50.927124°		 ← 143.35 m → N 76.428160°
E 50.932617°		 →
↑
143.35 m
↓
↑
143.35 m
↓
N 76.426871°
E 50.927124°		 ← 143.36 m →
20 549 m²		 N 76.426871°
E 50.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641471862792969 y=0.161216735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641471862792969 × 216)
    floor (0.641471862792969 × 65536)
    floor (42039.5)     		tx = 42039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161216735839844 × 216)
    floor (0.161216735839844 × 65536)
    floor (10565.5)     		ty = 10565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42039 / 10565 ti = "16/42039/10565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42039/10565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42039 ÷ 216
    42039 ÷ 65536     		x = 0.641464233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10565 ÷ 216
    10565 ÷ 65536     		y = 0.161209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641464233398438 × 2 - 1) × π
    0.282928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88884599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161209106445312 × 2 - 1) × π
    0.677581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12868596452821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88884599} λ = 0.88884599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12868596452821))-π/2
    2×atan(8.40381663970837)-π/2
    2×1.45235967857259-π/2
    2.90471935714518-1.57079632675     		φ = 1.33392303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88884599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.927124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33392303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.428160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42039 KachelY 10565 0.88884599 1.33392303 50.927124 76.428160
    Oben rechts KachelX + 1 42040 KachelY 10565 0.88894187 1.33392303 50.932617 76.428160
    Unten links KachelX 42039 KachelY + 1 10566 0.88884599 1.33390053 50.927124 76.426871
    Unten rechts KachelX + 1 42040 KachelY + 1 10566 0.88894187 1.33390053 50.932617 76.426871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33392303-1.33390053) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dl = 143.347500000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33392303-1.33390053) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dr = 143.347500000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88884599-0.88894187) × cos(1.33392303) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234664383894557 × 6371000     		do = 143.34508620535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88884599-0.88894187) × cos(1.33390053) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234686255555307 × 6371000     		du = 143.35844654169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33392303)-sin(1.33390053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234664383894557-0.234686255555307)×R²
    abs(0.88894187-0.88884599)×2.18716607502389e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18716607502389e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18716607502389e-05×40589641000000     		ar = 20549.1173311003m²