Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4202 / 12554
↖ ↑ ↗
← N 38.736946°
W133.835449°		 ← 952.86 m → N 38.736946°
W133.824463°		 →
↑
952.97 m
↓
↑
952.97 m
↓
N 38.728376°
W133.835449°		 ← 952.98 m →
908 107 m²		 N 38.728376°
W133.824463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128250122070312 y=0.383132934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128250122070312 × 215)
    floor (0.128250122070312 × 32768)
    floor (4202.5)     		tx = 4202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383132934570312 × 215)
    floor (0.383132934570312 × 32768)
    floor (12554.5)     		ty = 12554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4202 / 12554 ti = "15/4202/12554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4202/12554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4202 ÷ 215
    4202 ÷ 32768     		x = 0.12823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12554 ÷ 215
    12554 ÷ 32768     		y = 0.38311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.7435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33586924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33586924} λ = -2.33586924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73439330217926))-π/2
    2×atan(2.08421711886182)-π/2
    2×1.12344178889602-π/2
    2.24688357779203-1.57079632675     		φ = 0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33586924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4202 KachelY 12554 -2.33586924 0.67608725 -133.835449 38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 4203 KachelY 12554 -2.33567750 0.67608725 -133.824463 38.736946
    Unten links KachelX 4202 KachelY + 1 12555 -2.33586924 0.67593767 -133.835449 38.728376
    Unten rechts KachelX + 1 4203 KachelY + 1 12555 -2.33567750 0.67593767 -133.824463 38.728376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67608725-0.67593767) × R
    0.000149579999999983 × 6371000     		dl = 952.974179999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67608725-0.67593767) × R
    0.000149579999999983 × 6371000     		dr = 952.974179999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33586924--2.33567750) × cos(0.67608725) × R
    0.000191739999999996 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 952.861989514918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33586924--2.33567750) × cos(0.67593767) × R
    0.000191739999999996 × 0.780120660542813 × 6371000     		du = 952.976317167723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67608725)-sin(0.67593767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.780120660542813)×R²
    abs(-2.33567750--2.33586924)×9.35903258221238e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35903258221238e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35903258221238e-05×40589641000000     		ar = 908107.350455635m²