Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4201 / 12553
↖ ↑ ↗
← N 38.745515°
W133.846435°		 ← 952.80 m → N 38.745515°
W133.835449°		 →
↑
952.85 m
↓
↑
952.85 m
↓
N 38.736946°
W133.846435°		 ← 952.91 m →
907 924 m²		 N 38.736946°
W133.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128219604492188 y=0.383102416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128219604492188 × 215)
    floor (0.128219604492188 × 32768)
    floor (4201.5)     		tx = 4201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383102416992188 × 215)
    floor (0.383102416992188 × 32768)
    floor (12553.5)     		ty = 12553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4201 / 12553 ti = "15/4201/12553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4201/12553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4201 ÷ 215
    4201 ÷ 32768     		x = 0.128204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12553 ÷ 215
    12553 ÷ 32768     		y = 0.383087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.74359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33606099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383087158203125 × 2 - 1) × π
    0.23382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.734585049777741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33606099} λ = -2.33606099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734585049777741))-π/2
    2×atan(2.08461680080688)-π/2
    2×1.12351656856809-π/2
    2.24703313713618-1.57079632675     		φ = 0.67623681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33606099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.846435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67623681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.745515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4201 KachelY 12553 -2.33606099 0.67623681 -133.846435 38.745515
    Oben rechts KachelX + 1 4202 KachelY 12553 -2.33586924 0.67623681 -133.835449 38.745515
    Unten links KachelX 4201 KachelY + 1 12554 -2.33606099 0.67608725 -133.846435 38.736946
    Unten rechts KachelX + 1 4202 KachelY + 1 12554 -2.33586924 0.67608725 -133.835449 38.736946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67623681-0.67608725) × R
    0.000149559999999993 × 6371000     		dl = 952.846759999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67623681-0.67608725) × R
    0.000149559999999993 × 6371000     		dr = 952.846759999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33606099--2.33586924) × cos(0.67623681) × R
    0.000191749999999935 × 0.779933474955955 × 6371000     		do = 952.797345394763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33606099--2.33586924) × cos(0.67608725) × R
    0.000191749999999935 × 0.780027070216991 × 6371000     		du = 952.91168503926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67623681)-sin(0.67608725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779933474955955-0.780027070216991)×R²
    abs(-2.33586924--2.33606099)×9.35952610366941e-05×R²
    0.000191749999999935×9.35952610366941e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.35952610366941e-05×40589641000000     		ar = 907924.339267922m²