Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4200 / 2474
↖ ↑ ↗
← N 77.264171°
W 87.714844°		 ← 538.64 m → N 77.264171°
W 87.692871°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
N 77.259326°
W 87.714844°		 ← 538.84 m →
290 235 m²		 N 77.259326°
W 87.692871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256378173828125 y=0.151031494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256378173828125 × 214)
    floor (0.256378173828125 × 16384)
    floor (4200.5)     		tx = 4200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151031494140625 × 214)
    floor (0.151031494140625 × 16384)
    floor (2474.5)     		ty = 2474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4200 / 2474 ti = "14/4200/2474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4200/2474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4200 ÷ 214
    4200 ÷ 16384     		x = 0.25634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2474 ÷ 214
    2474 ÷ 16384     		y = 0.1510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53091283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1510009765625 × 2 - 1) × π
    0.697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19282553621985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53091283} λ = -1.53091283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19282553621985))-π/2
    2×atan(8.96049558443284)-π/2
    2×1.45965524655257-π/2
    2.91931049310513-1.57079632675     		φ = 1.34851417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53091283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34851417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.264171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4200 KachelY 2474 -1.53091283 1.34851417 -87.714844 77.264171
    Oben rechts KachelX + 1 4201 KachelY 2474 -1.53052933 1.34851417 -87.692871 77.264171
    Unten links KachelX 4200 KachelY + 1 2475 -1.53091283 1.34842961 -87.714844 77.259326
    Unten rechts KachelX + 1 4201 KachelY + 1 2475 -1.53052933 1.34842961 -87.692871 77.259326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34851417-1.34842961) × R
    8.45600000001223e-05 × 6371000     		dl = 538.731760000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34851417-1.34842961) × R
    8.45600000001223e-05 × 6371000     		dr = 538.731760000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53091283--1.53052933) × cos(1.34851417) × R
    0.00038349999999987 × 0.220456203846886 × 6371000     		do = 538.635903050532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53091283--1.53052933) × cos(1.34842961) × R
    0.00038349999999987 × 0.220538682618295 × 6371000     		du = 538.837421659422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34851417)-sin(1.34842961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220456203846886-0.220538682618295)×R²
    abs(-1.53052933--1.53091283)×8.24787714092667e-05×R²
    0.00038349999999987×8.24787714092667e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.24787714092667e-05×40589641000000     		ar = 290234.550458911m²