Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 420 / 86
↖ ↑ ↗
← N 81.621352°
W 32.343750°		 ← 5 696.26 m → N 81.621352°
W 31.992188°		 →
↑
5 713.58 m
↓
↑
5 713.58 m
↓
N 81.569968°
W 32.343750°		 ← 5 730.94 m →
32 645 085 m²		 N 81.569968°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41064453125 y=0.08447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41064453125 × 210)
    floor (0.41064453125 × 1024)
    floor (420.5)     		tx = 420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08447265625 × 210)
    floor (0.08447265625 × 1024)
    floor (86.5)     		ty = 86
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 420 / 86 ti = "10/420/86"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/420/86.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 420 ÷ 210
    420 ÷ 1024     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86 ÷ 210
    86 ÷ 1024     		y = 0.083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083984375 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61390326248242))-π/2
    2×atan(13.6522352456179)-π/2
    2×1.4976788269634-π/2
    2.9953576539268-1.57079632675     		φ = 1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 420 KachelY 86 -0.56450493 1.42456133 -32.343750 81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 421 KachelY 86 -0.55836901 1.42456133 -31.992188 81.621352
    Unten links KachelX 420 KachelY + 1 87 -0.56450493 1.42366452 -32.343750 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 421 KachelY + 1 87 -0.55836901 1.42366452 -31.992188 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42456133-1.42366452) × R
    0.00089680999999997 × 6371000     		dl = 5713.57650999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42456133-1.42366452) × R
    0.00089680999999997 × 6371000     		dr = 5713.57650999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.55836901) × cos(1.42456133) × R
    0.00613591999999996 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 5696.25777619949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.55836901) × cos(1.42366452) × R
    0.00613591999999996 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 5730.93934432958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42456133)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.14660153519646)×R²
    abs(-0.55836901--0.56450493)×0.000887179365442359×R²
    0.00613591999999996×0.000887179365442359×6371000²
    0.00613591999999996×0.000887179365442359×40589641000000     		ar = 32645084.7094555m²