Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41989 / 41989
↖ ↑ ↗
← S 45.108423°
E 50.652466°		 ← 431.12 m → S 45.108423°
E 50.657959°		 →
↑
431.06 m
↓
↑
431.06 m
↓
S 45.112300°
E 50.652466°		 ← 431.09 m →
185 833 m²		 S 45.112300°
E 50.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640708923339844 y=0.640708923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640708923339844 × 216)
    floor (0.640708923339844 × 65536)
    floor (41989.5)     		tx = 41989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640708923339844 × 216)
    floor (0.640708923339844 × 65536)
    floor (41989.5)     		ty = 41989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41989 / 41989 ti = "16/41989/41989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41989/41989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41989 ÷ 216
    41989 ÷ 65536     		x = 0.640701293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41989 ÷ 216
    41989 ÷ 65536     		y = 0.640701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640701293945312 × 2 - 1) × π
    0.281402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88405230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640701293945312 × 2 - 1) × π
    -0.281402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884052302793076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88405230} λ = 0.88405230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884052302793076))-π/2
    2×atan(0.413105486742375)-π/2
    2×0.391752909593259-π/2
    0.783505819186518-1.57079632675     		φ = -0.78729051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88405230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.652466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78729051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.108423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41989 KachelY 41989 0.88405230 -0.78729051 50.652466 -45.108423
    Oben rechts KachelX + 1 41990 KachelY 41989 0.88414818 -0.78729051 50.657959 -45.108423
    Unten links KachelX 41989 KachelY + 1 41990 0.88405230 -0.78735817 50.652466 -45.112300
    Unten rechts KachelX + 1 41990 KachelY + 1 41990 0.88414818 -0.78735817 50.657959 -45.112300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78729051--0.78735817) × R
    6.76599999999139e-05 × 6371000     		dl = 431.061859999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78729051--0.78735817) × R
    6.76599999999139e-05 × 6371000     		dr = 431.061859999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88405230-0.88414818) × cos(-0.78729051) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.70576742480443 × 6371000     		do = 431.119075977292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88405230-0.88414818) × cos(-0.78735817) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.705719489894665 × 6371000     		du = 431.089794866718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78729051)-sin(-0.78735817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70576742480443-0.705719489894665)×R²
    abs(0.88414818-0.88405230)×4.79349097649573e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79349097649573e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79349097649573e-05×40589641000000     		ar = 185832.679857859m²