Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4198 / 2937
↖ ↑ ↗
← N 45.305803°
E  4.482422°		 ← 3 436.78 m → N 45.305803°
E  4.526367°		 →
↑
3 437.73 m
↓
↑
3 437.73 m
↓
N 45.274887°
E  4.482422°		 ← 3 438.66 m →
11 817 942 m²		 N 45.274887°
E  4.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51251220703125 y=0.35858154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51251220703125 × 213)
    floor (0.51251220703125 × 8192)
    floor (4198.5)     		tx = 4198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35858154296875 × 213)
    floor (0.35858154296875 × 8192)
    floor (2937.5)     		ty = 2937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4198 / 2937 ti = "13/4198/2937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4198/2937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4198 ÷ 213
    4198 ÷ 8192     		x = 0.512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2937 ÷ 213
    2937 ÷ 8192     		y = 0.3585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512451171875 × 2 - 1) × π
    0.02490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07823302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3585205078125 × 2 - 1) × π
    0.282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.888941866554321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07823302} λ = 0.07823302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.888941866554321))-π/2
    2×atan(2.43255432192264)-π/2
    2×1.18076587619789-π/2
    2.36153175239579-1.57079632675     		φ = 0.79073543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07823302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79073543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.305803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4198 KachelY 2937 0.07823302 0.79073543 4.482422 45.305803
    Oben rechts KachelX + 1 4199 KachelY 2937 0.07900001 0.79073543 4.526367 45.305803
    Unten links KachelX 4198 KachelY + 1 2938 0.07823302 0.79019584 4.482422 45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 4199 KachelY + 1 2938 0.07900001 0.79019584 4.526367 45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79073543-0.79019584) × R
    0.000539590000000034 × 6371000     		dl = 3437.72789000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79073543-0.79019584) × R
    0.000539590000000034 × 6371000     		dr = 3437.72789000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07823302-0.07900001) × cos(0.79073543) × R
    0.000766989999999995 × 0.703322710252269 × 6371000     		do = 3436.78170435231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07823302-0.07900001) × cos(0.79019584) × R
    0.000766989999999995 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 3438.65555880996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79073543)-sin(0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703322710252269-0.703706186570858)×R²
    abs(0.07900001-0.07823302)×0.000383476318588594×R²
    0.000766989999999995×0.000383476318588594×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383476318588594×40589641000000     		ar = 11817941.5044995m²