Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4197 / 12679
↖ ↑ ↗
← S 69.710489°
W 87.780762°		 ← 847.22 m → S 69.710489°
W 87.758789°		 →
↑
847.09 m
↓
↑
847.09 m
↓
S 69.718107°
W 87.780762°		 ← 846.91 m →
717 540 m²		 S 69.718107°
W 87.758789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256195068359375 y=0.773895263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256195068359375 × 214)
    floor (0.256195068359375 × 16384)
    floor (4197.5)     		tx = 4197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773895263671875 × 214)
    floor (0.773895263671875 × 16384)
    floor (12679.5)     		ty = 12679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4197 / 12679 ti = "14/4197/12679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4197/12679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4197 ÷ 214
    4197 ÷ 16384     		x = 0.25616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12679 ÷ 214
    12679 ÷ 16384     		y = 0.77386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53206331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53206331} λ = -1.53206331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72074294876154))-π/2
    2×atan(0.17893316034626)-π/2
    2×0.177059387526256-π/2
    0.354118775052511-1.57079632675     		φ = -1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53206331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.780762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4197 KachelY 12679 -1.53206331 -1.21667755 -87.780762 -69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 4198 KachelY 12679 -1.53167982 -1.21667755 -87.758789 -69.710489
    Unten links KachelX 4197 KachelY + 1 12680 -1.53206331 -1.21681051 -87.780762 -69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 4198 KachelY + 1 12680 -1.53167982 -1.21681051 -87.758789 -69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21667755--1.21681051) × R
    0.00013295999999996 × 6371000     		dl = 847.088159999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21667755--1.21681051) × R
    0.00013295999999996 × 6371000     		dr = 847.088159999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53206331--1.53167982) × cos(-1.21667755) × R
    0.000383490000000153 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 847.218822364513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53206331--1.53167982) × cos(-1.21681051) × R
    0.000383490000000153 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 846.914121181496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21667755)-sin(-1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.346639241317444)×R²
    abs(-1.53167982--1.53206331)×0.00012471321975599×R²
    0.000383490000000153×0.00012471321975599×6371000²
    0.000383490000000153×0.00012471321975599×40589641000000     		ar = 717539.980027211m²