Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4196 / 2924
↖ ↑ ↗
← N 45.706179°
E  4.394531°		 ← 3 412.42 m → N 45.706179°
E  4.438477°		 →
↑
3 413.39 m
↓
↑
3 413.39 m
↓
N 45.675482°
E  4.394531°		 ← 3 414.30 m →
11 651 135 m²		 N 45.675482°
E  4.438477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51226806640625 y=0.35699462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51226806640625 × 213)
    floor (0.51226806640625 × 8192)
    floor (4196.5)     		tx = 4196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35699462890625 × 213)
    floor (0.35699462890625 × 8192)
    floor (2924.5)     		ty = 2924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4196 / 2924 ti = "13/4196/2924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4196/2924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4196 ÷ 213
    4196 ÷ 8192     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2924 ÷ 213
    2924 ÷ 8192     		y = 0.35693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35693359375 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.898912741675293))-π/2
    2×atan(2.45693034045826)-π/2
    2×1.1842598219064-π/2
    2.36851964381281-1.57079632675     		φ = 0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4196 KachelY 2924 0.07669904 0.79772332 4.394531 45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 4197 KachelY 2924 0.07746603 0.79772332 4.438477 45.706179
    Unten links KachelX 4196 KachelY + 1 2925 0.07669904 0.79718755 4.394531 45.675482
    Unten rechts KachelX + 1 4197 KachelY + 1 2925 0.07746603 0.79718755 4.438477 45.675482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79772332-0.79718755) × R
    0.000535770000000046 × 6371000     		dl = 3413.3906700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79772332-0.79718755) × R
    0.000535770000000046 × 6371000     		dr = 3413.3906700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07746603) × cos(0.79772332) × R
    0.000766990000000009 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 3412.4244036021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07746603) × cos(0.79718755) × R
    0.000766990000000009 × 0.698721479395608 × 6371000     		du = 3414.29782064555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79772332)-sin(0.79718755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.698721479395608)×R²
    abs(0.07746603-0.07669904)×0.000383386803639252×R²
    0.000766990000000009×0.000383386803639252×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383386803639252×40589641000000     		ar = 11651135.2521701m²