Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4196 / 12682
↖ ↑ ↗
← S 69.733334°
W 87.802735°		 ← 846.33 m → S 69.733334°
W 87.780762°		 →
↑
846.20 m
↓
↑
846.20 m
↓
S 69.740944°
W 87.802735°		 ← 846.02 m →
716 030 m²		 S 69.740944°
W 87.780762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256134033203125 y=0.774078369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256134033203125 × 214)
    floor (0.256134033203125 × 16384)
    floor (4196.5)     		tx = 4196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774078369140625 × 214)
    floor (0.774078369140625 × 16384)
    floor (12682.5)     		ty = 12682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4196 / 12682 ti = "14/4196/12682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4196/12682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4196 ÷ 214
    4196 ÷ 16384     		x = 0.256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12682 ÷ 214
    12682 ÷ 16384     		y = 0.7740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53244681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53244681} λ = -1.53244681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72189343435242))-π/2
    2×atan(0.178727418697645)-π/2
    2×0.176860021653195-π/2
    0.35372004330639-1.57079632675     		φ = -1.21707628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53244681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.802735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21707628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.733334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4196 KachelY 12682 -1.53244681 -1.21707628 -87.802735 -69.733334
    Oben rechts KachelX + 1 4197 KachelY 12682 -1.53206331 -1.21707628 -87.780762 -69.733334
    Unten links KachelX 4196 KachelY + 1 12683 -1.53244681 -1.21720910 -87.802735 -69.740944
    Unten rechts KachelX + 1 4197 KachelY + 1 12683 -1.53206331 -1.21720910 -87.780762 -69.740944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21707628--1.21720910) × R
    0.000132820000000144 × 6371000     		dl = 846.196220000921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21707628--1.21720910) × R
    0.000132820000000144 × 6371000     		dr = 846.196220000921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53244681--1.53206331) × cos(-1.21707628) × R
    0.00038349999999987 × 0.346389937209692 × 6371000     		do = 846.327086200505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53244681--1.53206331) × cos(-1.21720910) × R
    0.00038349999999987 × 0.346265336958547 × 6371000     		du = 846.022653085786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21707628)-sin(-1.21720910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346389937209692-0.346265336958547)×R²
    abs(-1.53206331--1.53244681)×0.000124600251145801×R²
    0.00038349999999987×0.000124600251145801×6371000²
    0.00038349999999987×0.000124600251145801×40589641000000     		ar = 716029.977203621m²