Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41955 / 9907
↖ ↑ ↗
← N 77.250842°
E 50.465698°		 ← 134.80 m → N 77.250842°
E 50.471192°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
N 77.249630°
E 50.465698°		 ← 134.82 m →
18 174 m²		 N 77.249630°
E 50.471192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640190124511719 y=0.151176452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640190124511719 × 216)
    floor (0.640190124511719 × 65536)
    floor (41955.5)     		tx = 41955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151176452636719 × 216)
    floor (0.151176452636719 × 65536)
    floor (9907.5)     		ty = 9907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41955 / 9907 ti = "16/41955/9907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41955/9907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41955 ÷ 216
    41955 ÷ 65536     		x = 0.640182495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9907 ÷ 216
    9907 ÷ 65536     		y = 0.151168823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640182495117188 × 2 - 1) × π
    0.280364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88079259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151168823242188 × 2 - 1) × π
    0.697662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19177092442821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88079259} λ = 0.88079259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19177092442821))-π/2
    2×atan(8.95105072133792)-π/2
    2×1.4595389388851-π/2
    2.91907787777019-1.57079632675     		φ = 1.34828155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88079259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34828155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.250842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41955 KachelY 9907 0.88079259 1.34828155 50.465698 77.250842
    Oben rechts KachelX + 1 41956 KachelY 9907 0.88088847 1.34828155 50.471192 77.250842
    Unten links KachelX 41955 KachelY + 1 9908 0.88079259 1.34826039 50.465698 77.249630
    Unten rechts KachelX + 1 41956 KachelY + 1 9908 0.88088847 1.34826039 50.471192 77.249630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34828155-1.34826039) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34828155-1.34826039) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88079259-0.88088847) × cos(1.34828155) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.220683094701044 × 6371000     		do = 134.804595009181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88079259-0.88088847) × cos(1.34826039) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.220703732963799 × 6371000     		du = 134.817201922529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34828155)-sin(1.34826039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220683094701044-0.220703732963799)×R²
    abs(0.88088847-0.88079259)×2.06382627548352e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.06382627548352e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.06382627548352e-05×40589641000000     		ar = 18173.9057549842m²