Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41949 / 9869
↖ ↑ ↗
← N 77.296826°
E 50.432739°		 ← 134.31 m → N 77.296826°
E 50.438232°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
N 77.295618°
E 50.432739°		 ← 134.32 m →
18 048 m²		 N 77.295618°
E 50.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640098571777344 y=0.150596618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640098571777344 × 216)
    floor (0.640098571777344 × 65536)
    floor (41949.5)     		tx = 41949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150596618652344 × 216)
    floor (0.150596618652344 × 65536)
    floor (9869.5)     		ty = 9869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41949 / 9869 ti = "16/41949/9869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41949/9869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41949 ÷ 216
    41949 ÷ 65536     		x = 0.640090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9869 ÷ 216
    9869 ÷ 65536     		y = 0.150588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640090942382812 × 2 - 1) × π
    0.280181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88021735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150588989257812 × 2 - 1) × π
    0.698822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19541412879933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88021735} λ = 0.88021735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19541412879933))-π/2
    2×atan(8.98372070402838)-π/2
    2×1.45994022226874-π/2
    2.91988044453748-1.57079632675     		φ = 1.34908412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88021735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34908412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.296826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41949 KachelY 9869 0.88021735 1.34908412 50.432739 77.296826
    Oben rechts KachelX + 1 41950 KachelY 9869 0.88031322 1.34908412 50.438232 77.296826
    Unten links KachelX 41949 KachelY + 1 9870 0.88021735 1.34906303 50.432739 77.295618
    Unten rechts KachelX + 1 41950 KachelY + 1 9870 0.88031322 1.34906303 50.438232 77.295618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34908412-1.34906303) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dl = 134.36439000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34908412-1.34906303) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dr = 134.36439000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88021735-0.88031322) × cos(1.34908412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219900240621711 × 6371000     		do = 134.312377591796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88021735-0.88031322) × cos(1.34906303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219920814339479 × 6371000     		du = 134.324943766991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34908412)-sin(1.34906303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219900240621711-0.219920814339479)×R²
    abs(0.88031322-0.88021735)×2.05737177672027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05737177672027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05737177672027e-05×40589641000000     		ar = 18047.6449084853m²