Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41936 / 9886
↖ ↑ ↗
← N 77.276275°
E 50.361328°		 ← 134.54 m → N 77.276275°
E 50.366822°		 →
↑
134.56 m
↓
↑
134.56 m
↓
N 77.275065°
E 50.361328°		 ← 134.55 m →
18 104 m²		 N 77.275065°
E 50.366822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639900207519531 y=0.150856018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639900207519531 × 216)
    floor (0.639900207519531 × 65536)
    floor (41936.5)     		tx = 41936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150856018066406 × 216)
    floor (0.150856018066406 × 65536)
    floor (9886.5)     		ty = 9886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41936 / 9886 ti = "16/41936/9886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41936/9886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41936 ÷ 216
    41936 ÷ 65536     		x = 0.639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9886 ÷ 216
    9886 ÷ 65536     		y = 0.150848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639892578125 × 2 - 1) × π
    0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150848388671875 × 2 - 1) × π
    0.69830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19378427421225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87897099} λ = 0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19378427421225))-π/2
    2×atan(8.96909047144438)-π/2
    2×1.45976087702478-π/2
    2.91952175404956-1.57079632675     		φ = 1.34872543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34872543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.276275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41936 KachelY 9886 0.87897099 1.34872543 50.361328 77.276275
    Oben rechts KachelX + 1 41937 KachelY 9886 0.87906687 1.34872543 50.366822 77.276275
    Unten links KachelX 41936 KachelY + 1 9887 0.87897099 1.34870431 50.361328 77.275065
    Unten rechts KachelX + 1 41937 KachelY + 1 9887 0.87906687 1.34870431 50.366822 77.275065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34872543-1.34870431) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dl = 134.555519999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34872543-1.34870431) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dr = 134.555519999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87897099-0.87906687) × cos(1.34872543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22025013658521 × 6371000     		do = 134.540121903189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87897099-0.87906687) × cos(1.34870431) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220270737901244 × 6371000     		du = 134.552706247579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34872543)-sin(1.34870431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22025013658521-0.220270737901244)×R²
    abs(0.87906687-0.87897099)×2.06013160338747e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06013160338747e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06013160338747e-05×40589641000000     		ar = 18103.962710718m²