Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41928 / 9800
↖ ↑ ↗
← N 77.379906°
E 50.317383°		 ← 133.45 m → N 77.379906°
E 50.322876°		 →
↑
133.47 m
↓
↑
133.47 m
↓
N 77.378706°
E 50.317383°		 ← 133.46 m →
17 812 m²		 N 77.378706°
E 50.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639778137207031 y=0.149543762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639778137207031 × 216)
    floor (0.639778137207031 × 65536)
    floor (41928.5)     		tx = 41928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149543762207031 × 216)
    floor (0.149543762207031 × 65536)
    floor (9800.5)     		ty = 9800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41928 / 9800 ti = "16/41928/9800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41928/9800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41928 ÷ 216
    41928 ÷ 65536     		x = 0.6397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9800 ÷ 216
    9800 ÷ 65536     		y = 0.1495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6397705078125 × 2 - 1) × π
    0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1495361328125 × 2 - 1) × π
    0.700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2020294209469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87820400} λ = 0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2020294209469))-π/2
    2×atan(9.04334764843643)-π/2
    2×1.46066523229478-π/2
    2.92133046458956-1.57079632675     		φ = 1.35053414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35053414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.379906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41928 KachelY 9800 0.87820400 1.35053414 50.317383 77.379906
    Oben rechts KachelX + 1 41929 KachelY 9800 0.87829987 1.35053414 50.322876 77.379906
    Unten links KachelX 41928 KachelY + 1 9801 0.87820400 1.35051319 50.317383 77.378706
    Unten rechts KachelX + 1 41929 KachelY + 1 9801 0.87829987 1.35051319 50.322876 77.378706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35053414-1.35051319) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dl = 133.472449999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35053414-1.35051319) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dr = 133.472449999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87820400-0.87829987) × cos(1.35053414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218485483001565 × 6371000     		do = 133.448260939896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87820400-0.87829987) × cos(1.35051319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218505926805782 × 6371000     		du = 133.460747765484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35053414)-sin(1.35051319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218485483001565-0.218505926805782)×R²
    abs(0.87829987-0.87820400)×2.04438042176736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04438042176736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04438042176736e-05×40589641000000     		ar = 17812.4996602222m²