Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41927 / 9799
↖ ↑ ↗
← N 77.381106°
E 50.311890°		 ← 133.44 m → N 77.381106°
E 50.317383°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
N 77.379906°
E 50.311890°		 ← 133.45 m →
17 802 m²		 N 77.379906°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639762878417969 y=0.149528503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639762878417969 × 216)
    floor (0.639762878417969 × 65536)
    floor (41927.5)     		tx = 41927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149528503417969 × 216)
    floor (0.149528503417969 × 65536)
    floor (9799.5)     		ty = 9799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41927 / 9799 ti = "16/41927/9799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41927/9799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41927 ÷ 216
    41927 ÷ 65536     		x = 0.639755249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9799 ÷ 216
    9799 ÷ 65536     		y = 0.149520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639755249023438 × 2 - 1) × π
    0.279510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87810813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149520874023438 × 2 - 1) × π
    0.700958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20212529474614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87810813} λ = 0.87810813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20212529474614))-π/2
    2×atan(9.04421471009692)-π/2
    2×1.46067570532163-π/2
    2.92135141064326-1.57079632675     		φ = 1.35055508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87810813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.311890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35055508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.381106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41927 KachelY 9799 0.87810813 1.35055508 50.311890 77.381106
    Oben rechts KachelX + 1 41928 KachelY 9799 0.87820400 1.35055508 50.317383 77.381106
    Unten links KachelX 41927 KachelY + 1 9800 0.87810813 1.35053414 50.311890 77.379906
    Unten rechts KachelX + 1 41928 KachelY + 1 9800 0.87820400 1.35053414 50.317383 77.379906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35055508-1.35053414) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35055508-1.35053414) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87810813-0.87820400) × cos(1.35055508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218465048859901 × 6371000     		do = 133.435780016077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87810813-0.87820400) × cos(1.35053414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218485483001565 × 6371000     		du = 133.448260939896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35055508)-sin(1.35053414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218465048859901-0.218485483001565)×R²
    abs(0.87820400-0.87810813)×2.04341416638332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04341416638332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04341416638332e-05×40589641000000     		ar = 17802.3318155688m²