Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41922 / 10433
↖ ↑ ↗
← N 76.597272°
E 50.284424°		 ← 141.58 m → N 76.597272°
E 50.289917°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
N 76.595999°
E 50.284424°		 ← 141.59 m →
20 043 m²		 N 76.595999°
E 50.289917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639686584472656 y=0.159202575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639686584472656 × 216)
    floor (0.639686584472656 × 65536)
    floor (41922.5)     		tx = 41922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159202575683594 × 216)
    floor (0.159202575683594 × 65536)
    floor (10433.5)     		ty = 10433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41922 / 10433 ti = "16/41922/10433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41922/10433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41922 ÷ 216
    41922 ÷ 65536     		x = 0.639678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10433 ÷ 216
    10433 ÷ 65536     		y = 0.159194946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639678955078125 × 2 - 1) × π
    0.27935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87762876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159194946289062 × 2 - 1) × π
    0.681610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14134130602791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87762876} λ = 0.87762876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14134130602791))-π/2
    2×atan(8.51084562490815)-π/2
    2×1.45383545925697-π/2
    2.90767091851393-1.57079632675     		φ = 1.33687459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87762876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33687459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.597272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41922 KachelY 10433 0.87762876 1.33687459 50.284424 76.597272
    Oben rechts KachelX + 1 41923 KachelY 10433 0.87772463 1.33687459 50.289917 76.597272
    Unten links KachelX 41922 KachelY + 1 10434 0.87762876 1.33685237 50.284424 76.595999
    Unten rechts KachelX + 1 41923 KachelY + 1 10434 0.87772463 1.33685237 50.289917 76.595999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33687459-1.33685237) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dl = 141.563620001171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33687459-1.33685237) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dr = 141.563620001171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87762876-0.87772463) × cos(1.33687459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231794223927306 × 6371000     		do = 141.577077131436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87762876-0.87772463) × cos(1.33685237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231815838704871 × 6371000     		du = 141.590279173225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33687459)-sin(1.33685237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231794223927306-0.231815838704871)×R²
    abs(0.87772463-0.87762876)×2.1614777565071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1614777565071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1614777565071e-05×40589641000000     		ar = 20043.0980129753m²