Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41921 / 10563
↖ ↑ ↗
← N 76.430738°
E 50.278930°		 ← 143.32 m → N 76.430738°
E 50.284424°		 →
↑
143.28 m
↓
↑
143.28 m
↓
N 76.429449°
E 50.278930°		 ← 143.33 m →
20 536 m²		 N 76.429449°
E 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639671325683594 y=0.161186218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639671325683594 × 216)
    floor (0.639671325683594 × 65536)
    floor (41921.5)     		tx = 41921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161186218261719 × 216)
    floor (0.161186218261719 × 65536)
    floor (10563.5)     		ty = 10563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41921 / 10563 ti = "16/41921/10563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41921/10563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41921 ÷ 216
    41921 ÷ 65536     		x = 0.639663696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10563 ÷ 216
    10563 ÷ 65536     		y = 0.161178588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639663696289062 × 2 - 1) × π
    0.279327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87753288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161178588867188 × 2 - 1) × π
    0.677642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12887771212669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87753288} λ = 0.87753288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12887771212669))-π/2
    2×atan(8.40542820586913)-π/2
    2×1.45238217464196-π/2
    2.90476434928392-1.57079632675     		φ = 1.33396802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87753288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.278930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33396802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.430738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41921 KachelY 10563 0.87753288 1.33396802 50.278930 76.430738
    Oben rechts KachelX + 1 41922 KachelY 10563 0.87762876 1.33396802 50.284424 76.430738
    Unten links KachelX 41921 KachelY + 1 10564 0.87753288 1.33394553 50.278930 76.429449
    Unten rechts KachelX + 1 41922 KachelY + 1 10564 0.87762876 1.33394553 50.284424 76.429449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33396802-1.33394553) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dl = 143.283789999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33396802-1.33394553) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dr = 143.283789999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33396802) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234620649937541 × 6371000     		do = 143.318371252981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33394553) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234642512115008 × 6371000     		du = 143.331725796442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33396802)-sin(1.33394553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234620649937541-0.234642512115008)×R²
    abs(0.87762876-0.87753288)×2.18621774666083e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18621774666083e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18621774666083e-05×40589641000000     		ar = 20536.1561551811m²