Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41921 / 10558
↖ ↑ ↗
← N 76.437180°
E 50.278930°		 ← 143.25 m → N 76.437180°
E 50.284424°		 →
↑
143.28 m
↓
↑
143.28 m
↓
N 76.435892°
E 50.278930°		 ← 143.26 m →
20 527 m²		 N 76.435892°
E 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639671325683594 y=0.161109924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639671325683594 × 216)
    floor (0.639671325683594 × 65536)
    floor (41921.5)     		tx = 41921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161109924316406 × 216)
    floor (0.161109924316406 × 65536)
    floor (10558.5)     		ty = 10558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41921 / 10558 ti = "16/41921/10558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41921/10558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41921 ÷ 216
    41921 ÷ 65536     		x = 0.639663696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10558 ÷ 216
    10558 ÷ 65536     		y = 0.161102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639663696289062 × 2 - 1) × π
    0.279327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87753288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161102294921875 × 2 - 1) × π
    0.67779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12935708112289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87753288} λ = 0.87753288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12935708112289))-π/2
    2×atan(8.40945847346631)-π/2
    2×1.45243839647361-π/2
    2.90487679294721-1.57079632675     		φ = 1.33408047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87753288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.278930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33408047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.437180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41921 KachelY 10558 0.87753288 1.33408047 50.278930 76.437180
    Oben rechts KachelX + 1 41922 KachelY 10558 0.87762876 1.33408047 50.284424 76.437180
    Unten links KachelX 41921 KachelY + 1 10559 0.87753288 1.33405798 50.278930 76.435892
    Unten rechts KachelX + 1 41922 KachelY + 1 10559 0.87762876 1.33405798 50.284424 76.435892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33408047-1.33405798) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dl = 143.283789999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33408047-1.33405798) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dr = 143.283789999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33408047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234511337270361 × 6371000     		do = 143.251597448451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33405798) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.234533200041073 × 6371000     		du = 143.264952354298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33408047)-sin(1.33405798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234511337270361-0.234533200041073)×R²
    abs(0.87762876-0.87753288)×2.18627707117558e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18627707117558e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18627707117558e-05×40589641000000     		ar = 20526.5885777141m²