Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41921 / 10439
↖ ↑ ↗
← N 76.589630°
E 50.278930°		 ← 141.67 m → N 76.589630°
E 50.284424°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 76.588356°
E 50.278930°		 ← 141.68 m →
20 074 m²		 N 76.588356°
E 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639671325683594 y=0.159294128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639671325683594 × 216)
    floor (0.639671325683594 × 65536)
    floor (41921.5)     		tx = 41921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159294128417969 × 216)
    floor (0.159294128417969 × 65536)
    floor (10439.5)     		ty = 10439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41921 / 10439 ti = "16/41921/10439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41921/10439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41921 ÷ 216
    41921 ÷ 65536     		x = 0.639663696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10439 ÷ 216
    10439 ÷ 65536     		y = 0.159286499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639663696289062 × 2 - 1) × π
    0.279327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87753288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159286499023438 × 2 - 1) × π
    0.681427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14076606323247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87753288} λ = 0.87753288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14076606323247))-π/2
    2×atan(8.50595123014694)-π/2
    2×1.45376877162232-π/2
    2.90753754324463-1.57079632675     		φ = 1.33674122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87753288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.278930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33674122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.589630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41921 KachelY 10439 0.87753288 1.33674122 50.278930 76.589630
    Oben rechts KachelX + 1 41922 KachelY 10439 0.87762876 1.33674122 50.284424 76.589630
    Unten links KachelX 41921 KachelY + 1 10440 0.87753288 1.33671898 50.278930 76.588356
    Unten rechts KachelX + 1 41922 KachelY + 1 10440 0.87762876 1.33671898 50.284424 76.588356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33674122-1.33671898) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33674122-1.33671898) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33674122) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231923959512367 × 6371000     		do = 141.67109391566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87753288-0.87762876) × cos(1.33671898) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231945593057365 × 6371000     		du = 141.68430879864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33674122)-sin(1.33671898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231923959512367-0.231945593057365)×R²
    abs(0.87762876-0.87753288)×2.16335449980676e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.16335449980676e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16335449980676e-05×40589641000000     		ar = 20074.4608510465m²