Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41920 / 10441
↖ ↑ ↗
← N 76.587082°
E 50.273437°		 ← 141.68 m → N 76.587082°
E 50.278930°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 76.585807°
E 50.273437°		 ← 141.70 m →
20 076 m²		 N 76.585807°
E 50.278930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639656066894531 y=0.159324645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639656066894531 × 216)
    floor (0.639656066894531 × 65536)
    floor (41920.5)     		tx = 41920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159324645996094 × 216)
    floor (0.159324645996094 × 65536)
    floor (10441.5)     		ty = 10441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41920 / 10441 ti = "16/41920/10441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41920/10441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41920 ÷ 216
    41920 ÷ 65536     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10441 ÷ 216
    10441 ÷ 65536     		y = 0.159317016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159317016601562 × 2 - 1) × π
    0.681365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14057431563399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14057431563399))-π/2
    2×atan(8.50432039078553)-π/2
    2×1.45374653411706-π/2
    2.90749306823412-1.57079632675     		φ = 1.33669674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33669674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.587082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41920 KachelY 10441 0.87743701 1.33669674 50.273437 76.587082
    Oben rechts KachelX + 1 41921 KachelY 10441 0.87753288 1.33669674 50.278930 76.587082
    Unten links KachelX 41920 KachelY + 1 10442 0.87743701 1.33667450 50.273437 76.585807
    Unten rechts KachelX + 1 41921 KachelY + 1 10442 0.87753288 1.33667450 50.278930 76.585807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33669674-1.33667450) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33669674-1.33667450) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87753288) × cos(1.33669674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231967226487638 × 6371000     		do = 141.682744979466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87753288) × cos(1.33667450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231988859803177 × 6371000     		du = 141.695958344022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33669674)-sin(1.33667450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231967226487638-0.231988859803177)×R²
    abs(0.87753288-0.87743701)×2.16333155386161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16333155386161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16333155386161e-05×40589641000000     		ar = 20076.1115946803m²