Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4192 / 3061
↖ ↑ ↗
← N 41.343824°
E  4.218750°		 ← 3 668.58 m → N 41.343824°
E  4.262695°		 →
↑
3 669.50 m
↓
↑
3 669.50 m
↓
N 41.310824°
E  4.218750°		 ← 3 670.44 m →
13 465 280 m²		 N 41.310824°
E  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51177978515625 y=0.37371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51177978515625 × 213)
    floor (0.51177978515625 × 8192)
    floor (4192.5)     		tx = 4192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37371826171875 × 213)
    floor (0.37371826171875 × 8192)
    floor (3061.5)     		ty = 3061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4192 / 3061 ti = "13/4192/3061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4192/3061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4192 ÷ 213
    4192 ÷ 8192     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3061 ÷ 213
    3061 ÷ 8192     		y = 0.3736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79383505770813))-π/2
    2×atan(2.2118628028492)-π/2
    2×1.14619109554326-π/2
    2.29238219108652-1.57079632675     		φ = 0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4192 KachelY 3061 0.07363108 0.72158586 4.218750 41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 4193 KachelY 3061 0.07439807 0.72158586 4.262695 41.343824
    Unten links KachelX 4192 KachelY + 1 3062 0.07363108 0.72100989 4.218750 41.310824
    Unten rechts KachelX + 1 4193 KachelY + 1 3062 0.07439807 0.72100989 4.262695 41.310824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72158586-0.72100989) × R
    0.000575969999999981 × 6371000     		dl = 3669.50486999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72158586-0.72100989) × R
    0.000575969999999981 × 6371000     		dr = 3669.50486999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(0.72158586) × R
    0.000766989999999995 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 3668.57926754549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(0.72100989) × R
    0.000766989999999995 × 0.75113943989275 × 6371000     		du = 3670.43783289026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72158586)-sin(0.72100989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.75113943989275)×R²
    abs(0.07439807-0.07363108)×0.000380347466876874×R²
    0.000766989999999995×0.000380347466876874×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380347466876874×40589641000000     		ar = 13465279.8677779m²