Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41917 / 10431
↖ ↑ ↗
← N 76.599818°
E 50.256958°		 ← 141.55 m → N 76.599818°
E 50.262451°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
N 76.598545°
E 50.256958°		 ← 141.56 m →
20 039 m²		 N 76.598545°
E 50.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639610290527344 y=0.159172058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639610290527344 × 216)
    floor (0.639610290527344 × 65536)
    floor (41917.5)     		tx = 41917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159172058105469 × 216)
    floor (0.159172058105469 × 65536)
    floor (10431.5)     		ty = 10431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41917 / 10431 ti = "16/41917/10431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41917/10431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41917 ÷ 216
    41917 ÷ 65536     		x = 0.639602661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10431 ÷ 216
    10431 ÷ 65536     		y = 0.159164428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639602661132812 × 2 - 1) × π
    0.279205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87714939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159164428710938 × 2 - 1) × π
    0.681671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14153305362639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87714939} λ = 0.87714939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14153305362639))-π/2
    2×atan(8.51247771558749)-π/2
    2×1.45385768017724-π/2
    2.90771536035448-1.57079632675     		φ = 1.33691903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87714939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.256958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33691903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.599818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41917 KachelY 10431 0.87714939 1.33691903 50.256958 76.599818
    Oben rechts KachelX + 1 41918 KachelY 10431 0.87724526 1.33691903 50.262451 76.599818
    Unten links KachelX 41917 KachelY + 1 10432 0.87714939 1.33689681 50.256958 76.598545
    Unten rechts KachelX + 1 41918 KachelY + 1 10432 0.87724526 1.33689681 50.262451 76.598545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33691903-1.33689681) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33691903-1.33689681) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87714939-0.87724526) × cos(1.33691903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231750994028856 × 6371000     		do = 141.550672838165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87714939-0.87724526) × cos(1.33689681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231772609035297 × 6371000     		du = 141.563875019748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33691903)-sin(1.33689681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231750994028856-0.231772609035297)×R²
    abs(0.87724526-0.87714939)×2.16150064409615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16150064409615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16150064409615e-05×40589641000000     		ar = 20039.3601353431m²