Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41911 / 10458
↖ ↑ ↗
← N 76.565403°
E 50.223999°		 ← 141.91 m → N 76.565403°
E 50.229492°		 →
↑
141.95 m
↓
↑
141.95 m
↓
N 76.564126°
E 50.223999°		 ← 141.92 m →
20 144 m²		 N 76.564126°
E 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639518737792969 y=0.159584045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639518737792969 × 216)
    floor (0.639518737792969 × 65536)
    floor (41911.5)     		tx = 41911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159584045410156 × 216)
    floor (0.159584045410156 × 65536)
    floor (10458.5)     		ty = 10458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41911 / 10458 ti = "16/41911/10458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41911/10458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41911 ÷ 216
    41911 ÷ 65536     		x = 0.639511108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10458 ÷ 216
    10458 ÷ 65536     		y = 0.159576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639511108398438 × 2 - 1) × π
    0.279022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87657415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159576416015625 × 2 - 1) × π
    0.68084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13894446104691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87657415} λ = 0.87657415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13894446104691))-π/2
    2×atan(8.49047087460119)-π/2
    2×1.45355734777044-π/2
    2.90711469554087-1.57079632675     		φ = 1.33631837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87657415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33631837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.565403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41911 KachelY 10458 0.87657415 1.33631837 50.223999 76.565403
    Oben rechts KachelX + 1 41912 KachelY 10458 0.87667002 1.33631837 50.229492 76.565403
    Unten links KachelX 41911 KachelY + 1 10459 0.87657415 1.33629609 50.223999 76.564126
    Unten rechts KachelX + 1 41912 KachelY + 1 10459 0.87667002 1.33629609 50.229492 76.564126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33631837-1.33629609) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dl = 141.945880000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33631837-1.33629609) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dr = 141.945880000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87657415-0.87667002) × cos(1.33631837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232335259303474 × 6371000     		do = 141.907534922337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87657415-0.87667002) × cos(1.33629609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232356929570604 × 6371000     		du = 141.920770856473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33631837)-sin(1.33629609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232335259303474-0.232356929570604)×R²
    abs(0.87667002-0.87657415)×2.16702671303748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16702671303748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16702671303748e-05×40589641000000     		ar = 20144.1293169289m²