Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41911 / 10448
↖ ↑ ↗
← N 76.578159°
E 50.223999°		 ← 141.78 m → N 76.578159°
E 50.229492°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
N 76.576884°
E 50.223999°		 ← 141.79 m →
20 098 m²		 N 76.576884°
E 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639518737792969 y=0.159431457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639518737792969 × 216)
    floor (0.639518737792969 × 65536)
    floor (41911.5)     		tx = 41911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159431457519531 × 216)
    floor (0.159431457519531 × 65536)
    floor (10448.5)     		ty = 10448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41911 / 10448 ti = "16/41911/10448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41911/10448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41911 ÷ 216
    41911 ÷ 65536     		x = 0.639511108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10448 ÷ 216
    10448 ÷ 65536     		y = 0.159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639511108398438 × 2 - 1) × π
    0.279022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87657415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159423828125 × 2 - 1) × π
    0.68115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87657415} λ = 0.87657415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13990319903931))-π/2
    2×atan(8.49861491497868)-π/2
    2×1.45366867017784-π/2
    2.90733734035567-1.57079632675     		φ = 1.33654101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87657415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33654101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.578159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41911 KachelY 10448 0.87657415 1.33654101 50.223999 76.578159
    Oben rechts KachelX + 1 41912 KachelY 10448 0.87667002 1.33654101 50.229492 76.578159
    Unten links KachelX 41911 KachelY + 1 10449 0.87657415 1.33651876 50.223999 76.576884
    Unten rechts KachelX + 1 41912 KachelY + 1 10449 0.87667002 1.33651876 50.229492 76.576884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33654101-1.33651876) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33654101-1.33651876) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87657415-0.87667002) × cos(1.33654101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232118705920746 × 6371000     		do = 141.775266764615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87657415-0.87667002) × cos(1.33651876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232140348159405 × 6371000     		du = 141.788485579303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33654101)-sin(1.33651876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232118705920746-0.232140348159405)×R²
    abs(0.87667002-0.87657415)×2.16422386583315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16422386583315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16422386583315e-05×40589641000000     		ar = 20098.2544117916m²