Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41910 / 10463
↖ ↑ ↗
← N 76.559020°
E 50.218506°		 ← 141.99 m → N 76.559020°
E 50.223999°		 →
↑
142.01 m
↓
↑
142.01 m
↓
N 76.557743°
E 50.218506°		 ← 142 m →
20 165 m²		 N 76.557743°
E 50.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639503479003906 y=0.159660339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639503479003906 × 216)
    floor (0.639503479003906 × 65536)
    floor (41910.5)     		tx = 41910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159660339355469 × 216)
    floor (0.159660339355469 × 65536)
    floor (10463.5)     		ty = 10463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41910 / 10463 ti = "16/41910/10463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41910/10463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41910 ÷ 216
    41910 ÷ 65536     		x = 0.639495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10463 ÷ 216
    10463 ÷ 65536     		y = 0.159652709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639495849609375 × 2 - 1) × π
    0.27899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87647827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159652709960938 × 2 - 1) × π
    0.680694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1384650920507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87647827} λ = 0.87647827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1384650920507))-π/2
    2×atan(8.48640178147722)-π/2
    2×1.45350164762611-π/2
    2.90700329525223-1.57079632675     		φ = 1.33620697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87647827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.218506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33620697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.559020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41910 KachelY 10463 0.87647827 1.33620697 50.218506 76.559020
    Oben rechts KachelX + 1 41911 KachelY 10463 0.87657415 1.33620697 50.223999 76.559020
    Unten links KachelX 41910 KachelY + 1 10464 0.87647827 1.33618468 50.218506 76.557743
    Unten rechts KachelX + 1 41911 KachelY + 1 10464 0.87657415 1.33618468 50.223999 76.557743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33620697-1.33618468) × R
    2.22900000002024e-05 × 6371000     		dl = 142.00959000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33620697-1.33618468) × R
    2.22900000002024e-05 × 6371000     		dr = 142.00959000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87647827-0.87657415) × cos(1.33620697) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232443609485602 × 6371000     		do = 141.988522870893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87647827-0.87657415) × cos(1.33618468) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232465288901964 × 6371000     		du = 142.001765774463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33620697)-sin(1.33618468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232443609485602-0.232465288901964)×R²
    abs(0.87657415-0.87647827)×2.16794163618861e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.16794163618861e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16794163618861e-05×40589641000000     		ar = 20164.6722281554m²