Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41910 / 10447
↖ ↑ ↗
← N 76.579434°
E 50.218506°		 ← 141.78 m → N 76.579434°
E 50.223999°		 →
↑
141.82 m
↓
↑
141.82 m
↓
N 76.578159°
E 50.218506°		 ← 141.79 m →
20 108 m²		 N 76.578159°
E 50.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639503479003906 y=0.159416198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639503479003906 × 216)
    floor (0.639503479003906 × 65536)
    floor (41910.5)     		tx = 41910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159416198730469 × 216)
    floor (0.159416198730469 × 65536)
    floor (10447.5)     		ty = 10447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41910 / 10447 ti = "16/41910/10447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41910/10447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41910 ÷ 216
    41910 ÷ 65536     		x = 0.639495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10447 ÷ 216
    10447 ÷ 65536     		y = 0.159408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639495849609375 × 2 - 1) × π
    0.27899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87647827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159408569335938 × 2 - 1) × π
    0.681182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13999907283855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87647827} λ = 0.87647827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13999907283855))-π/2
    2×atan(8.49942974853883)-π/2
    2×1.45367979670996-π/2
    2.90735959341992-1.57079632675     		φ = 1.33656327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87647827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.218506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33656327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.579434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41910 KachelY 10447 0.87647827 1.33656327 50.218506 76.579434
    Oben rechts KachelX + 1 41911 KachelY 10447 0.87657415 1.33656327 50.223999 76.579434
    Unten links KachelX 41910 KachelY + 1 10448 0.87647827 1.33654101 50.218506 76.578159
    Unten rechts KachelX + 1 41911 KachelY + 1 10448 0.87657415 1.33654101 50.223999 76.578159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33656327-1.33654101) × R
    2.22600000001627e-05 × 6371000     		dl = 141.818460001037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33656327-1.33654101) × R
    2.22600000001627e-05 × 6371000     		dr = 141.818460001037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87647827-0.87657415) × cos(1.33656327) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232097053840248 × 6371000     		do = 141.776828842027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87647827-0.87657415) × cos(1.33654101) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232118705920746 × 6371000     		du = 141.790055047444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33656327)-sin(1.33654101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232097053840248-0.232118705920746)×R²
    abs(0.87657415-0.87647827)×2.16520804980913e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.16520804980913e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16520804980913e-05×40589641000000     		ar = 20107.5093914682m²