Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4191 / 3059
↖ ↑ ↗
← N 41.409776°
E  4.174805°		 ← 3 664.86 m → N 41.409776°
E  4.218750°		 →
↑
3 665.81 m
↓
↑
3 665.81 m
↓
N 41.376808°
E  4.174805°		 ← 3 666.72 m →
13 438 092 m²		 N 41.376808°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51165771484375 y=0.37347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51165771484375 × 213)
    floor (0.51165771484375 × 8192)
    floor (4191.5)     		tx = 4191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37347412109375 × 213)
    floor (0.37347412109375 × 8192)
    floor (3059.5)     		ty = 3059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4191 / 3059 ti = "13/4191/3059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4191/3059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4191 ÷ 213
    4191 ÷ 8192     		x = 0.5115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3059 ÷ 213
    3059 ÷ 8192     		y = 0.3734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5115966796875 × 2 - 1) × π
    0.023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07286409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3734130859375 × 2 - 1) × π
    0.253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.795369038495972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07286409} λ = 0.07286409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.795369038495972))-π/2
    2×atan(2.21525836158921)-π/2
    2×1.14676662877959-π/2
    2.29353325755919-1.57079632675     		φ = 0.72273693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07286409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72273693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.409776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4191 KachelY 3059 0.07286409 0.72273693 4.174805 41.409776
    Oben rechts KachelX + 1 4192 KachelY 3059 0.07363108 0.72273693 4.218750 41.409776
    Unten links KachelX 4191 KachelY + 1 3060 0.07286409 0.72216154 4.174805 41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 4192 KachelY + 1 3060 0.07363108 0.72216154 4.218750 41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72273693-0.72216154) × R
    0.000575390000000064 × 6371000     		dl = 3665.80969000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72273693-0.72216154) × R
    0.000575390000000064 × 6371000     		dr = 3665.80969000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07286409-0.07363108) × cos(0.72273693) × R
    0.000766989999999995 × 0.749998225897634 × 6371000     		do = 3664.86129836067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07286409-0.07363108) × cos(0.72216154) × R
    0.000766989999999995 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 3666.72042188465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72273693)-sin(0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749998225897634-0.750378687593506)×R²
    abs(0.07363108-0.07286409)×0.000380461695871803×R²
    0.000766989999999995×0.000380461695871803×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380461695871803×40589641000000     		ar = 13438092.0273016m²