Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41906 / 10446
↖ ↑ ↗
← N 76.580709°
E 50.196533°		 ← 141.75 m → N 76.580709°
E 50.202026°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
N 76.579434°
E 50.196533°		 ← 141.76 m →
20 095 m²		 N 76.579434°
E 50.202026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639442443847656 y=0.159400939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639442443847656 × 216)
    floor (0.639442443847656 × 65536)
    floor (41906.5)     		tx = 41906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159400939941406 × 216)
    floor (0.159400939941406 × 65536)
    floor (10446.5)     		ty = 10446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41906 / 10446 ti = "16/41906/10446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41906/10446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41906 ÷ 216
    41906 ÷ 65536     		x = 0.639434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10446 ÷ 216
    10446 ÷ 65536     		y = 0.159393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639434814453125 × 2 - 1) × π
    0.27886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87609478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159393310546875 × 2 - 1) × π
    0.68121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14009494663779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87609478} λ = 0.87609478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14009494663779))-π/2
    2×atan(8.50024466022391)-π/2
    2×1.45369092220452-π/2
    2.90738184440905-1.57079632675     		φ = 1.33658552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87609478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.196533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33658552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.580709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41906 KachelY 10446 0.87609478 1.33658552 50.196533 76.580709
    Oben rechts KachelX + 1 41907 KachelY 10446 0.87619065 1.33658552 50.202026 76.580709
    Unten links KachelX 41906 KachelY + 1 10447 0.87609478 1.33656327 50.196533 76.579434
    Unten rechts KachelX + 1 41907 KachelY + 1 10447 0.87619065 1.33656327 50.202026 76.579434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33658552-1.33656327) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33658552-1.33656327) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87609478-0.87619065) × cos(1.33658552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232075411371722 × 6371000     		do = 141.748822983564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87609478-0.87619065) × cos(1.33656327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232097053840248 × 6371000     		du = 141.762041938652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33658552)-sin(1.33656327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232075411371722-0.232097053840248)×R²
    abs(0.87619065-0.87609478)×2.16424685258176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16424685258176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16424685258176e-05×40589641000000     		ar = 20094.5058903769m²