Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41905 / 10461
↖ ↑ ↗
← N 76.561573°
E 50.191040°		 ← 141.96 m → N 76.561573°
E 50.196533°		 →
↑
141.95 m
↓
↑
141.95 m
↓
N 76.560296°
E 50.191040°		 ← 141.98 m →
20 152 m²		 N 76.560296°
E 50.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639427185058594 y=0.159629821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639427185058594 × 216)
    floor (0.639427185058594 × 65536)
    floor (41905.5)     		tx = 41905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159629821777344 × 216)
    floor (0.159629821777344 × 65536)
    floor (10461.5)     		ty = 10461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41905 / 10461 ti = "16/41905/10461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41905/10461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41905 ÷ 216
    41905 ÷ 65536     		x = 0.639419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10461 ÷ 216
    10461 ÷ 65536     		y = 0.159622192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639419555664062 × 2 - 1) × π
    0.278839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87599890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159622192382812 × 2 - 1) × π
    0.680755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13865683964919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87599890} λ = 0.87599890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13865683964919))-π/2
    2×atan(8.4880291846589)-π/2
    2×1.45352393080028-π/2
    2.90704786160056-1.57079632675     		φ = 1.33625153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87599890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33625153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.561573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41905 KachelY 10461 0.87599890 1.33625153 50.191040 76.561573
    Oben rechts KachelX + 1 41906 KachelY 10461 0.87609478 1.33625153 50.196533 76.561573
    Unten links KachelX 41905 KachelY + 1 10462 0.87599890 1.33622925 50.191040 76.560296
    Unten rechts KachelX + 1 41906 KachelY + 1 10462 0.87609478 1.33622925 50.196533 76.560296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33625153-1.33622925) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dl = 141.945880000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33625153-1.33622925) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dr = 141.945880000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87599890-0.87609478) × cos(1.33625153) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.232400269758829 × 6371000     		do = 141.962048734487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87599890-0.87609478) × cos(1.33622925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.232421939679903 × 6371000     		du = 141.975285837846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33625153)-sin(1.33622925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232400269758829-0.232421939679903)×R²
    abs(0.87609478-0.87599890)×2.16699210732751e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.16699210732751e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.16699210732751e-05×40589641000000     		ar = 20151.8674111996m²