Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41901 / 10477
↖ ↑ ↗
← N 76.541132°
E 50.169067°		 ← 142.16 m → N 76.541132°
E 50.174560°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
N 76.539854°
E 50.169067°		 ← 142.17 m →
20 207 m²		 N 76.539854°
E 50.174560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639366149902344 y=0.159873962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639366149902344 × 216)
    floor (0.639366149902344 × 65536)
    floor (41901.5)     		tx = 41901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159873962402344 × 216)
    floor (0.159873962402344 × 65536)
    floor (10477.5)     		ty = 10477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41901 / 10477 ti = "16/41901/10477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41901/10477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41901 ÷ 216
    41901 ÷ 65536     		x = 0.639358520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10477 ÷ 216
    10477 ÷ 65536     		y = 0.159866333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639358520507812 × 2 - 1) × π
    0.278717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87561541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159866333007812 × 2 - 1) × π
    0.680267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13712285886134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87561541} λ = 0.87561541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13712285886134))-π/2
    2×atan(8.47501869243679)-π/2
    2×1.45334554899517-π/2
    2.90669109799035-1.57079632675     		φ = 1.33589477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87561541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.169067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33589477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.541132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41901 KachelY 10477 0.87561541 1.33589477 50.169067 76.541132
    Oben rechts KachelX + 1 41902 KachelY 10477 0.87571128 1.33589477 50.174560 76.541132
    Unten links KachelX 41901 KachelY + 1 10478 0.87561541 1.33587246 50.169067 76.539854
    Unten rechts KachelX + 1 41902 KachelY + 1 10478 0.87571128 1.33587246 50.174560 76.539854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33589477-1.33587246) × R
    2.23099999998588e-05 × 6371000     		dl = 142.137009999101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33589477-1.33587246) × R
    2.23099999998588e-05 × 6371000     		dr = 142.137009999101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87561541-0.87571128) × cos(1.33589477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232747246955554 × 6371000     		do = 142.159171941619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87561541-0.87571128) × cos(1.33587246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232768944203864 × 6371000     		du = 142.172424355529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33589477)-sin(1.33587246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232747246955554-0.232768944203864)×R²
    abs(0.87571128-0.87561541)×2.16972483102762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16972483102762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16972483102762e-05×40589641000000     		ar = 20207.0214740293m²