Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 419 / 391
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E114.609375°		 ← 28.782 km → S 68.399180°
E115.312500°		 →
↑
28.619 km
↓
↑
28.619 km
↓
S 68.656555°
E114.609375°		 ← 28.456 km →
819.043 km²		 S 68.656555°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8193359375 y=0.7646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8193359375 × 29)
    floor (0.8193359375 × 512)
    floor (419.5)     		tx = 419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7646484375 × 29)
    floor (0.7646484375 × 512)
    floor (391.5)     		ty = 391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 419 / 391 ti = "9/419/391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/419/391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 419 ÷ 29
    419 ÷ 512     		x = 0.818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 391 ÷ 29
    391 ÷ 512     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818359375 × 2 - 1) × π
    0.63671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00031095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00031095} λ = 2.00031095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00031095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 419 KachelY 391 2.00031095 -1.19379090 114.609375 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 420 KachelY 391 2.01258279 -1.19379090 115.312500 -68.399180
    Unten links KachelX 419 KachelY + 1 392 2.00031095 -1.19828294 114.609375 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 420 KachelY + 1 392 2.01258279 -1.19828294 115.312500 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19828294) × R
    0.00449203999999992 × 6371000     		dl = 28618.7868399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19828294) × R
    0.00449203999999992 × 6371000     		dr = 28618.7868399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00031095-2.01258279) × cos(-1.19379090) × R
    0.0122718400000004 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 28782.450628012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00031095-2.01258279) × cos(-1.19828294) × R
    0.0122718400000004 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 28455.6208726975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.363957586554578)×R²
    abs(2.01258279-2.00031095)×0.00418026967292845×R²
    0.0122718400000004×0.00418026967292845×6371000²
    0.0122718400000004×0.00418026967292845×40589641000000     		ar = 819043460.956631m²