Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41899 / 10479
↖ ↑ ↗
← N 76.538575°
E 50.158081°		 ← 142.19 m → N 76.538575°
E 50.163574°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
N 76.537296°
E 50.158081°		 ← 142.20 m →
20 220 m²		 N 76.537296°
E 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639335632324219 y=0.159904479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639335632324219 × 216)
    floor (0.639335632324219 × 65536)
    floor (41899.5)     		tx = 41899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159904479980469 × 216)
    floor (0.159904479980469 × 65536)
    floor (10479.5)     		ty = 10479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41899 / 10479 ti = "16/41899/10479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41899/10479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41899 ÷ 216
    41899 ÷ 65536     		x = 0.639328002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10479 ÷ 216
    10479 ÷ 65536     		y = 0.159896850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639328002929688 × 2 - 1) × π
    0.278656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87542366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159896850585938 × 2 - 1) × π
    0.680206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13693111126286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87542366} λ = 0.87542366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13693111126286))-π/2
    2×atan(8.47339378374659)-π/2
    2×1.45332323255173-π/2
    2.90664646510345-1.57079632675     		φ = 1.33585014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87542366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.158081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33585014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.538575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41899 KachelY 10479 0.87542366 1.33585014 50.158081 76.538575
    Oben rechts KachelX + 1 41900 KachelY 10479 0.87551953 1.33585014 50.163574 76.538575
    Unten links KachelX 41899 KachelY + 1 10480 0.87542366 1.33582782 50.158081 76.537296
    Unten rechts KachelX + 1 41900 KachelY + 1 10480 0.87551953 1.33582782 50.163574 76.537296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33585014-1.33582782) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33585014-1.33582782) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87542366-0.87551953) × cos(1.33585014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232790651061585 × 6371000     		do = 142.185682638751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87542366-0.87551953) × cos(1.33582782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232812357803335 × 6371000     		du = 142.198940851138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33585014)-sin(1.33582782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232790651061585-0.232812357803335)×R²
    abs(0.87551953-0.87542366)×2.17067417494499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17067417494499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17067417494499e-05×40589641000000     		ar = 20219.8491095034m²