Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41899 / 10475
↖ ↑ ↗
← N 76.543689°
E 50.158081°		 ← 142.13 m → N 76.543689°
E 50.163574°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
N 76.542410°
E 50.158081°		 ← 142.15 m →
20 212 m²		 N 76.542410°
E 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639335632324219 y=0.159843444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639335632324219 × 216)
    floor (0.639335632324219 × 65536)
    floor (41899.5)     		tx = 41899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159843444824219 × 216)
    floor (0.159843444824219 × 65536)
    floor (10475.5)     		ty = 10475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41899 / 10475 ti = "16/41899/10475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41899/10475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41899 ÷ 216
    41899 ÷ 65536     		x = 0.639328002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10475 ÷ 216
    10475 ÷ 65536     		y = 0.159835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639328002929688 × 2 - 1) × π
    0.278656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87542366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159835815429688 × 2 - 1) × π
    0.680328369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13731460645982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87542366} λ = 0.87542366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13731460645982))-π/2
    2×atan(8.47664391272921)-π/2
    2×1.4533678612774-π/2
    2.90673572255481-1.57079632675     		φ = 1.33593940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87542366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.158081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33593940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.543689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41899 KachelY 10475 0.87542366 1.33593940 50.158081 76.543689
    Oben rechts KachelX + 1 41900 KachelY 10475 0.87551953 1.33593940 50.163574 76.543689
    Unten links KachelX 41899 KachelY + 1 10476 0.87542366 1.33591708 50.158081 76.542410
    Unten rechts KachelX + 1 41900 KachelY + 1 10476 0.87551953 1.33591708 50.163574 76.542410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33593940-1.33591708) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33593940-1.33591708) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87542366-0.87551953) × cos(1.33593940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232703842385927 × 6371000     		do = 142.132660961329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87542366-0.87551953) × cos(1.33591708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232725549591396 × 6371000     		du = 142.14591945695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33593940)-sin(1.33591708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232703842385927-0.232725549591396)×R²
    abs(0.87551953-0.87542366)×2.17072054694845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17072054694845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17072054694845e-05×40589641000000     		ar = 20212.3094085953m²