Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41895 / 10453
↖ ↑ ↗
← N 76.571783°
E 50.136109°		 ← 141.84 m → N 76.571783°
E 50.141602°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
N 76.570507°
E 50.136109°		 ← 141.85 m →
20 126 m²		 N 76.570507°
E 50.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639274597167969 y=0.159507751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639274597167969 × 216)
    floor (0.639274597167969 × 65536)
    floor (41895.5)     		tx = 41895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159507751464844 × 216)
    floor (0.159507751464844 × 65536)
    floor (10453.5)     		ty = 10453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41895 / 10453 ti = "16/41895/10453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41895/10453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41895 ÷ 216
    41895 ÷ 65536     		x = 0.639266967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10453 ÷ 216
    10453 ÷ 65536     		y = 0.159500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639266967773438 × 2 - 1) × π
    0.278533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87504017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159500122070312 × 2 - 1) × π
    0.680999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13942383004311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87504017} λ = 0.87504017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13942383004311))-π/2
    2×atan(8.49454191878984)-π/2
    2×1.45361302195054-π/2
    2.90722604390108-1.57079632675     		φ = 1.33642972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87504017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.136109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33642972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.571783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41895 KachelY 10453 0.87504017 1.33642972 50.136109 76.571783
    Oben rechts KachelX + 1 41896 KachelY 10453 0.87513604 1.33642972 50.141602 76.571783
    Unten links KachelX 41895 KachelY + 1 10454 0.87504017 1.33640745 50.136109 76.570507
    Unten rechts KachelX + 1 41896 KachelY + 1 10454 0.87513604 1.33640745 50.141602 76.570507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33642972-1.33640745) × R
    2.22699999998799e-05 × 6371000     		dl = 141.882169999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33642972-1.33640745) × R
    2.22699999998799e-05 × 6371000     		dr = 141.882169999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87504017-0.87513604) × cos(1.33642972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232226954871156 × 6371000     		do = 141.841383899641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87504017-0.87513604) × cos(1.33640745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23224861598801 × 6371000     		du = 141.8546142449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33642972)-sin(1.33640745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232226954871156-0.23224861598801)×R²
    abs(0.87513604-0.87504017)×2.1661116853644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1661116853644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1661116853644e-05×40589641000000     		ar = 20125.7019195311m²