Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41894 / 10454
N 76.570507°
E 50.130615°
← 141.87 m → N 76.570507°
E 50.136109°

141.88 m

141.88 m
N 76.569231°
E 50.130615°
← 141.88 m →
20 130 m²
N 76.569231°
E 50.136109°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639259338378906 y=0.159523010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639259338378906 × 216)
    floor (0.639259338378906 × 65536)
    floor (41894.5)
    tx = 41894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159523010253906 × 216)
    floor (0.159523010253906 × 65536)
    floor (10454.5)
    ty = 10454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41894 / 10454 ti = "16/41894/10454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41894/10454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41894 ÷ 216
    41894 ÷ 65536
    x = 0.639251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10454 ÷ 216
    10454 ÷ 65536
    y = 0.159515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.639251708984375 × 2 - 1) × π
    0.27850341796875 × 3.1415926535
    Λ = 0.87494429
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.159515380859375 × 2 - 1) × π
    0.68096923828125 × 3.1415926535
    Φ = 2.13932795624387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87494429} λ = 0.87494429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13932795624387))-π/2
    2×atan(8.49372755382204)-π/2
    2×1.45360188919111-π/2
    2.90720377838221-1.57079632675
    φ = 1.33640745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87494429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.130615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33640745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.570507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41894 KachelY 10454 0.87494429 1.33640745 50.130615 76.570507
    Oben rechts KachelX + 1 41895 KachelY 10454 0.87504017 1.33640745 50.136109 76.570507
    Unten links KachelX 41894 KachelY + 1 10455 0.87494429 1.33638518 50.130615 76.569231
    Unten rechts KachelX + 1 41895 KachelY + 1 10455 0.87504017 1.33638518 50.136109 76.569231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.33640745-1.33638518) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000
    dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.33640745-1.33638518) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000
    dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.87494429-0.87504017) × cos(1.33640745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.23224861598801 × 6371000
    do = 141.869410804299m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.87494429-0.87504017) × cos(1.33638518) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232270276989679 × 6371000
    du = 141.882642459227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.33640745)-sin(1.33638518))×
    abs(λ12)×abs(0.23224861598801-0.232270276989679)×
    abs(0.87504017-0.87494429)×2.16610016694763e-05×
    9.58800000000481e-05×2.16610016694763e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16610016694763e-05×40589641000000
    ar = 20129.678530073m²