Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4189 / 12469
↖ ↑ ↗
← N 39.461644°
W133.978271°		 ← 943.12 m → N 39.461644°
W133.967285°		 →
↑
943.23 m
↓
↑
943.23 m
↓
N 39.453161°
W133.978271°		 ← 943.23 m →
889 628 m²		 N 39.453161°
W133.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127853393554688 y=0.380538940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127853393554688 × 215)
    floor (0.127853393554688 × 32768)
    floor (4189.5)     		tx = 4189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380538940429688 × 215)
    floor (0.380538940429688 × 32768)
    floor (12469.5)     		ty = 12469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4189 / 12469 ti = "15/4189/12469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4189/12469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4189 ÷ 215
    4189 ÷ 32768     		x = 0.127838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12469 ÷ 215
    12469 ÷ 32768     		y = 0.380523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.74432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33836196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380523681640625 × 2 - 1) × π
    0.23895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.750691848050079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33836196} λ = -2.33836196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.750691848050079))-π/2
    2×atan(2.11846516571802)-π/2
    2×1.12976596829044-π/2
    2.25953193658089-1.57079632675     		φ = 0.68873561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33836196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68873561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.461644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4189 KachelY 12469 -2.33836196 0.68873561 -133.978271 39.461644
    Oben rechts KachelX + 1 4190 KachelY 12469 -2.33817022 0.68873561 -133.967285 39.461644
    Unten links KachelX 4189 KachelY + 1 12470 -2.33836196 0.68858756 -133.978271 39.453161
    Unten rechts KachelX + 1 4190 KachelY + 1 12470 -2.33817022 0.68858756 -133.967285 39.453161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68873561-0.68858756) × R
    0.000148050000000066 × 6371000     		dl = 943.226550000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68873561-0.68858756) × R
    0.000148050000000066 × 6371000     		dr = 943.226550000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33836196--2.33817022) × cos(0.68873561) × R
    0.000191739999999996 × 0.772050229541985 × 6371000     		do = 943.117676059853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33836196--2.33817022) × cos(0.68858756) × R
    0.000191739999999996 × 0.772144315963161 × 6371000     		du = 943.232609730609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68873561)-sin(0.68858756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772050229541985-0.772144315963161)×R²
    abs(-2.33817022--2.33836196)×9.40864211765868e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40864211765868e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40864211765868e-05×40589641000000     		ar = 889627.837703914m²