Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41889 / 10593
↖ ↑ ↗
← N 76.392019°
E 50.103149°		 ← 143.72 m → N 76.392019°
E 50.108643°		 →
↑
143.73 m
↓
↑
143.73 m
↓
N 76.390727°
E 50.103149°		 ← 143.73 m →
20 658 m²		 N 76.390727°
E 50.108643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639183044433594 y=0.161643981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639183044433594 × 216)
    floor (0.639183044433594 × 65536)
    floor (41889.5)     		tx = 41889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161643981933594 × 216)
    floor (0.161643981933594 × 65536)
    floor (10593.5)     		ty = 10593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41889 / 10593 ti = "16/41889/10593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41889/10593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41889 ÷ 216
    41889 ÷ 65536     		x = 0.639175415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10593 ÷ 216
    10593 ÷ 65536     		y = 0.161636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639175415039062 × 2 - 1) × π
    0.278350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87446492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161636352539062 × 2 - 1) × π
    0.676727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12600149814949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87446492} λ = 0.87446492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12600149814949))-π/2
    2×atan(8.38128712987161)-π/2
    2×1.45204429294804-π/2
    2.90408858589608-1.57079632675     		φ = 1.33329226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87446492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33329226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.392019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41889 KachelY 10593 0.87446492 1.33329226 50.103149 76.392019
    Oben rechts KachelX + 1 41890 KachelY 10593 0.87456080 1.33329226 50.108643 76.392019
    Unten links KachelX 41889 KachelY + 1 10594 0.87446492 1.33326970 50.103149 76.390727
    Unten rechts KachelX + 1 41890 KachelY + 1 10594 0.87456080 1.33326970 50.108643 76.390727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33329226-1.33326970) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dl = 143.729759999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33329226-1.33326970) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dr = 143.729759999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87446492-0.87456080) × cos(1.33329226) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.235277493833955 × 6371000     		do = 143.719605319235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87446492-0.87456080) × cos(1.33326970) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.235299420475142 × 6371000     		du = 143.732999240455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33329226)-sin(1.33326970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235277493833955-0.235299420475142)×R²
    abs(0.87456080-0.87446492)×2.19266411871089e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.19266411871089e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.19266411871089e-05×40589641000000     		ar = 20657.7469334855m²