Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41889 / 10485
↖ ↑ ↗
← N 76.530900°
E 50.103149°		 ← 142.28 m → N 76.530900°
E 50.108643°		 →
↑
142.26 m
↓
↑
142.26 m
↓
N 76.529621°
E 50.103149°		 ← 142.29 m →
20 242 m²		 N 76.529621°
E 50.108643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639183044433594 y=0.159996032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639183044433594 × 216)
    floor (0.639183044433594 × 65536)
    floor (41889.5)     		tx = 41889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159996032714844 × 216)
    floor (0.159996032714844 × 65536)
    floor (10485.5)     		ty = 10485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41889 / 10485 ti = "16/41889/10485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41889/10485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41889 ÷ 216
    41889 ÷ 65536     		x = 0.639175415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10485 ÷ 216
    10485 ÷ 65536     		y = 0.159988403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639175415039062 × 2 - 1) × π
    0.278350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87446492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159988403320312 × 2 - 1) × π
    0.680023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13635586846742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87446492} λ = 0.87446492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13635586846742))-π/2
    2×atan(8.46852092669189)-π/2
    2×1.45325625824674-π/2
    2.90651251649349-1.57079632675     		φ = 1.33571619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87446492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33571619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.530900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41889 KachelY 10485 0.87446492 1.33571619 50.103149 76.530900
    Oben rechts KachelX + 1 41890 KachelY 10485 0.87456080 1.33571619 50.108643 76.530900
    Unten links KachelX 41889 KachelY + 1 10486 0.87446492 1.33569386 50.103149 76.529621
    Unten rechts KachelX + 1 41890 KachelY + 1 10486 0.87456080 1.33569386 50.108643 76.529621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33571619-1.33569386) × R
    2.23300000001814e-05 × 6371000     		dl = 142.264430001156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33571619-1.33569386) × R
    2.23300000001814e-05 × 6371000     		dr = 142.264430001156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87446492-0.87456080) × cos(1.33571619) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232920918946991 × 6371000     		do = 142.280088061801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87446492-0.87456080) × cos(1.33569386) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232942634717429 × 6371000     		du = 142.293353172312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33571619)-sin(1.33569386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232920918946991-0.232942634717429)×R²
    abs(0.87456080-0.87446492)×2.17157704380799e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.17157704380799e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.17157704380799e-05×40589641000000     		ar = 20242.339206038m²