Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41886 / 10411
↖ ↑ ↗
← N 76.625256°
E 50.086670°		 ← 141.30 m → N 76.625256°
E 50.092163°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
N 76.623985°
E 50.086670°		 ← 141.31 m →
19 968 m²		 N 76.623985°
E 50.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639137268066406 y=0.158866882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639137268066406 × 216)
    floor (0.639137268066406 × 65536)
    floor (41886.5)     		tx = 41886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158866882324219 × 216)
    floor (0.158866882324219 × 65536)
    floor (10411.5)     		ty = 10411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41886 / 10411 ti = "16/41886/10411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41886/10411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41886 ÷ 216
    41886 ÷ 65536     		x = 0.639129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10411 ÷ 216
    10411 ÷ 65536     		y = 0.158859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639129638671875 × 2 - 1) × π
    0.27825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87417730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158859252929688 × 2 - 1) × π
    0.682281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14345052961119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87417730} λ = 0.87417730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14345052961119))-π/2
    2×atan(8.52881584615892)-π/2
    2×1.45407966155708-π/2
    2.90815932311415-1.57079632675     		φ = 1.33736300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87417730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.086670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33736300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.625256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41886 KachelY 10411 0.87417730 1.33736300 50.086670 76.625256
    Oben rechts KachelX + 1 41887 KachelY 10411 0.87427318 1.33736300 50.092163 76.625256
    Unten links KachelX 41886 KachelY + 1 10412 0.87417730 1.33734082 50.086670 76.623985
    Unten rechts KachelX + 1 41887 KachelY + 1 10412 0.87427318 1.33734082 50.092163 76.623985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33736300-1.33734082) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dl = 141.30877999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33736300-1.33734082) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dr = 141.30877999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87417730-0.87427318) × cos(1.33736300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231319088223135 × 6371000     		do = 141.30160739326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87417730-0.87427318) × cos(1.33734082) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231340666598867 × 6371000     		du = 141.314788576012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33736300)-sin(1.33734082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231319088223135-0.231340666598867)×R²
    abs(0.87427318-0.87417730)×2.15783757318566e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.15783757318566e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.15783757318566e-05×40589641000000     		ar = 19968.0890620542m²