Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41881 / 10472
↖ ↑ ↗
← N 76.547524°
E 50.059204°		 ← 142.11 m → N 76.547524°
E 50.064697°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
N 76.546245°
E 50.059204°		 ← 142.12 m →
20 200 m²		 N 76.546245°
E 50.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639060974121094 y=0.159797668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639060974121094 × 216)
    floor (0.639060974121094 × 65536)
    floor (41881.5)     		tx = 41881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159797668457031 × 216)
    floor (0.159797668457031 × 65536)
    floor (10472.5)     		ty = 10472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41881 / 10472 ti = "16/41881/10472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41881/10472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41881 ÷ 216
    41881 ÷ 65536     		x = 0.639053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10472 ÷ 216
    10472 ÷ 65536     		y = 0.1597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639053344726562 × 2 - 1) × π
    0.278106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87369793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1597900390625 × 2 - 1) × π
    0.680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13760222785754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87369793} λ = 0.87369793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13760222785754))-π/2
    2×atan(8.4790823275527)-π/2
    2×1.45340132190006-π/2
    2.90680264380012-1.57079632675     		φ = 1.33600632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87369793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.059204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33600632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.547524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41881 KachelY 10472 0.87369793 1.33600632 50.059204 76.547524
    Oben rechts KachelX + 1 41882 KachelY 10472 0.87379381 1.33600632 50.064697 76.547524
    Unten links KachelX 41881 KachelY + 1 10473 0.87369793 1.33598401 50.059204 76.546245
    Unten rechts KachelX + 1 41882 KachelY + 1 10473 0.87379381 1.33598401 50.064697 76.546245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33600632-1.33598401) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dl = 142.137010000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33600632-1.33598401) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dr = 142.137010000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87369793-0.87379381) × cos(1.33600632) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232638758976517 × 6371000     		do = 142.10773022624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87369793-0.87379381) × cos(1.33598401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.232660456803953 × 6371000     		du = 142.120984376242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33600632)-sin(1.33598401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232638758976517-0.232660456803953)×R²
    abs(0.87379381-0.87369793)×2.16978274360513e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.16978274360513e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16978274360513e-05×40589641000000     		ar = 20199.7098257804m²