Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41881 / 10293
↖ ↑ ↗
← N 76.774372°
E 50.059204°		 ← 139.75 m → N 76.774372°
E 50.064697°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
N 76.773116°
E 50.059204°		 ← 139.77 m →
19 527 m²		 N 76.773116°
E 50.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639060974121094 y=0.157066345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639060974121094 × 216)
    floor (0.639060974121094 × 65536)
    floor (41881.5)     		tx = 41881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157066345214844 × 216)
    floor (0.157066345214844 × 65536)
    floor (10293.5)     		ty = 10293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41881 / 10293 ti = "16/41881/10293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41881/10293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41881 ÷ 216
    41881 ÷ 65536     		x = 0.639053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10293 ÷ 216
    10293 ÷ 65536     		y = 0.157058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639053344726562 × 2 - 1) × π
    0.278106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87369793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157058715820312 × 2 - 1) × π
    0.685882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15476363792152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87369793} λ = 0.87369793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15476363792152))-π/2
    2×atan(8.62585111390151)-π/2
    2×1.45538095471529-π/2
    2.91076190943057-1.57079632675     		φ = 1.33996558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87369793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.059204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33996558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.774372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41881 KachelY 10293 0.87369793 1.33996558 50.059204 76.774372
    Oben rechts KachelX + 1 41882 KachelY 10293 0.87379381 1.33996558 50.064697 76.774372
    Unten links KachelX 41881 KachelY + 1 10294 0.87369793 1.33994365 50.059204 76.773116
    Unten rechts KachelX + 1 41882 KachelY + 1 10294 0.87379381 1.33994365 50.064697 76.773116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33996558-1.33994365) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dl = 139.716030001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33996558-1.33994365) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dr = 139.716030001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87369793-0.87379381) × cos(1.33996558) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.228786315010872 × 6371000     		do = 139.754459128208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87369793-0.87379381) × cos(1.33994365) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.228807663299173 × 6371000     		du = 139.767499761712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33996558)-sin(1.33994365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228786315010872-0.228807663299173)×R²
    abs(0.87379381-0.87369793)×2.13482883010541e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.13482883010541e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.13482883010541e-05×40589641000000     		ar = 19526.8491980087m²