Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41880 / 10470
↖ ↑ ↗
← N 76.550079°
E 50.053711°		 ← 142.07 m → N 76.550079°
E 50.059204°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
N 76.548801°
E 50.053711°		 ← 142.08 m →
20 185 m²		 N 76.548801°
E 50.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639045715332031 y=0.159767150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639045715332031 × 216)
    floor (0.639045715332031 × 65536)
    floor (41880.5)     		tx = 41880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159767150878906 × 216)
    floor (0.159767150878906 × 65536)
    floor (10470.5)     		ty = 10470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41880 / 10470 ti = "16/41880/10470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41880/10470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41880 ÷ 216
    41880 ÷ 65536     		x = 0.6390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10470 ÷ 216
    10470 ÷ 65536     		y = 0.159759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87360206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159759521484375 × 2 - 1) × π
    0.68048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13779397545602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87360206} λ = 0.87360206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13779397545602))-π/2
    2×atan(8.48070832711209)-π/2
    2×1.45342362378244-π/2
    2.90684724756488-1.57079632675     		φ = 1.33605092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87360206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33605092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.550079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41880 KachelY 10470 0.87360206 1.33605092 50.053711 76.550079
    Oben rechts KachelX + 1 41881 KachelY 10470 0.87369793 1.33605092 50.059204 76.550079
    Unten links KachelX 41880 KachelY + 1 10471 0.87360206 1.33602862 50.053711 76.548801
    Unten rechts KachelX + 1 41881 KachelY + 1 10471 0.87369793 1.33602862 50.059204 76.548801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33605092-1.33602862) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33605092-1.33602862) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87360206-0.87369793) × cos(1.33605092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232595382425749 × 6371000     		do = 142.066414944118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87360206-0.87369793) × cos(1.33602862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232617070758972 × 6371000     		du = 142.079661912802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33605092)-sin(1.33602862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232595382425749-0.232617070758972)×R²
    abs(0.87369793-0.87360206)×2.16883332226914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16883332226914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16883332226914e-05×40589641000000     		ar = 20184.7854113869m²