Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41879 / 10423
N 76.609999°
E 50.048217°
← 141.46 m → N 76.609999°
E 50.053711°

141.50 m

141.50 m
N 76.608726°
E 50.048217°
← 141.47 m →
20 017 m²
N 76.608726°
E 50.053711°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639030456542969 y=0.159049987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639030456542969 × 216)
    floor (0.639030456542969 × 65536)
    floor (41879.5)
    tx = 41879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159049987792969 × 216)
    floor (0.159049987792969 × 65536)
    floor (10423.5)
    ty = 10423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41879 / 10423 ti = "16/41879/10423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41879/10423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41879 ÷ 216
    41879 ÷ 65536
    x = 0.639022827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10423 ÷ 216
    10423 ÷ 65536
    y = 0.159042358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.639022827148438 × 2 - 1) × π
    0.278045654296875 × 3.1415926535
    Λ = 0.87350618
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.159042358398438 × 2 - 1) × π
    0.681915283203125 × 3.1415926535
    Φ = 2.14230004402031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87350618} λ = 0.87350618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14230004402031))-π/2
    2×atan(8.51900920869986)-π/2
    2×1.45394652242142-π/2
    2.90789304484284-1.57079632675
    φ = 1.33709672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87350618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.048217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33709672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.609999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41879 KachelY 10423 0.87350618 1.33709672 50.048217 76.609999
    Oben rechts KachelX + 1 41880 KachelY 10423 0.87360206 1.33709672 50.053711 76.609999
    Unten links KachelX 41879 KachelY + 1 10424 0.87350618 1.33707451 50.048217 76.608726
    Unten rechts KachelX + 1 41880 KachelY + 1 10424 0.87360206 1.33707451 50.053711 76.608726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.33709672-1.33707451) × R
    2.22099999998004e-05 × 6371000
    dl = 141.499909998729m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.33709672-1.33707451) × R
    2.22099999998004e-05 × 6371000
    dr = 141.499909998729m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.87350618-0.87360206) × cos(1.33709672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231578137956173 × 6371000
    do = 141.45984830608m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.87350618-0.87360206) × cos(1.33707451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23159974414922 × 6371000
    du = 141.473046481079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.33709672)-sin(1.33707451))×
    abs(λ12)×abs(0.231578137956173-0.23159974414922)×
    abs(0.87360206-0.87350618)×2.16061930465306e-05×
    9.58799999999371e-05×2.16061930465306e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.16061930465306e-05×40589641000000
    ar = 20017.4895744454m²