Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41879 / 10297
↖ ↑ ↗
← N 76.769345°
E 50.048217°		 ← 139.81 m → N 76.769345°
E 50.053711°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 76.768087°
E 50.048217°		 ← 139.82 m →
19 552 m²		 N 76.768087°
E 50.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639030456542969 y=0.157127380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639030456542969 × 216)
    floor (0.639030456542969 × 65536)
    floor (41879.5)     		tx = 41879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157127380371094 × 216)
    floor (0.157127380371094 × 65536)
    floor (10297.5)     		ty = 10297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41879 / 10297 ti = "16/41879/10297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41879/10297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41879 ÷ 216
    41879 ÷ 65536     		x = 0.639022827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10297 ÷ 216
    10297 ÷ 65536     		y = 0.157119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639022827148438 × 2 - 1) × π
    0.278045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87350618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157119750976562 × 2 - 1) × π
    0.685760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15438014272456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87350618} λ = 0.87350618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15438014272456))-π/2
    2×atan(8.62254377564433)-π/2
    2×1.45533707729964-π/2
    2.91067415459927-1.57079632675     		φ = 1.33987783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87350618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.048217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33987783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.769345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41879 KachelY 10297 0.87350618 1.33987783 50.048217 76.769345
    Oben rechts KachelX + 1 41880 KachelY 10297 0.87360206 1.33987783 50.053711 76.769345
    Unten links KachelX 41879 KachelY + 1 10298 0.87350618 1.33985588 50.048217 76.768087
    Unten rechts KachelX + 1 41880 KachelY + 1 10298 0.87360206 1.33985588 50.053711 76.768087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33987783-1.33985588) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33987783-1.33985588) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87350618-0.87360206) × cos(1.33987783) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228871736707496 × 6371000     		do = 139.806639097853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87350618-0.87360206) × cos(1.33985588) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228893104024459 × 6371000     		du = 139.819691355043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33987783)-sin(1.33985588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228871736707496-0.228893104024459)×R²
    abs(0.87360206-0.87350618)×2.1367316962867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.1367316962867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.1367316962867e-05×40589641000000     		ar = 19551.9553816132m²