Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41877 / 10295
↖ ↑ ↗
← N 76.771859°
E 50.037232°		 ← 139.77 m → N 76.771859°
E 50.042725°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
N 76.770602°
E 50.037232°		 ← 139.78 m →
19 537 m²		 N 76.770602°
E 50.042725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638999938964844 y=0.157096862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638999938964844 × 216)
    floor (0.638999938964844 × 65536)
    floor (41877.5)     		tx = 41877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157096862792969 × 216)
    floor (0.157096862792969 × 65536)
    floor (10295.5)     		ty = 10295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41877 / 10295 ti = "16/41877/10295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41877/10295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41877 ÷ 216
    41877 ÷ 65536     		x = 0.638992309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10295 ÷ 216
    10295 ÷ 65536     		y = 0.157089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638992309570312 × 2 - 1) × π
    0.277984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87331444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157089233398438 × 2 - 1) × π
    0.685821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15457189032304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87331444} λ = 0.87331444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15457189032304))-π/2
    2×atan(8.62419728622938)-π/2
    2×1.455359018055-π/2
    2.91071803611-1.57079632675     		φ = 1.33992171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87331444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.037232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33992171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.771859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41877 KachelY 10295 0.87331444 1.33992171 50.037232 76.771859
    Oben rechts KachelX + 1 41878 KachelY 10295 0.87341031 1.33992171 50.042725 76.771859
    Unten links KachelX 41877 KachelY + 1 10296 0.87331444 1.33989977 50.037232 76.770602
    Unten rechts KachelX + 1 41878 KachelY + 1 10296 0.87341031 1.33989977 50.042725 76.770602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33992171-1.33989977) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dl = 139.779740000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33992171-1.33989977) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dr = 139.779740000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87331444-0.87341031) × cos(1.33992171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228829021212101 × 6371000     		do = 139.765967577419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87331444-0.87341031) × cos(1.33989977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228850379014879 × 6371000     		du = 139.77901266215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33992171)-sin(1.33989977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228829021212101-0.228850379014879)×R²
    abs(0.87341031-0.87331444)×2.13578027780381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13578027780381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13578027780381e-05×40589641000000     		ar = 19537.3623292178m²